¿Cómo puedo demostrar que existe un principio de variación/acción para un sistema clásico dado?

Question

Vemos que los principios variacionales entran en juego en diferentes lugares como la Mecánica Clásica (el principio de Hamilton que da lugar a las ecuaciones de Euler-Lagrange), la Óptica (en forma de principio de Fermat) e incluso la Relatividad General (obtenemos la ecuación de Einstein a partir de la acción de Einstein-Hilbert). Sin embargo, cómo explicamos este mismo principio, es decir, más matemáticamente, quiero preguntar lo siguiente:

Si me dan un conjunto de posiciones y velocidades generalizadas, digamos, $\{q_{i}, \dot{q}_{i}\}$ que describe un sistema clásico con dinámica conocida (ecuaciones de movimiento), entonces, ¿cómo demuestro rigurosamente que siempre hay existe una acción funcional $A$ , donde $$A ~=~ \int L(q_{i}, \dot{q}_{i})dt,$$ tal que $\delta A = 0$ da las ecuaciones correctas de movimiento y trayectoria del sistema?

Supongo que, históricamente, la motivación vino de la Óptica: es decir, los rayos de luz viajan a lo largo de una trayectoria en la que $S = \int_{A}^{B} n ds$ se minimiza (o al menos se estaciona). (Aquí, $ds$ es el elemento diferencial a lo largo de la trayectoria). No me importa que se hable de geometría simpléctica si es necesario.

Answer 1

I) No todas las ecuaciones de movimiento (eom) son variacionales. Un ejemplo famoso es la quinta forma autodual en la teoría de supercuerdas de tipo IIB. En la mecánica puntual clásica, las fuerzas de fricción suelen dar lugar a problemas no variacionales.

II) Consideremos por ejemplo $n$ variable $q^i$ y $n$ eoms,

$$\tag{1} E_i~\approx~ 0, \qquad i~\in~\{1, \ldots, n\}.$$

Una versión simplificada del problema de OP (v3) es la siguiente:

¿Existe una acción $$\tag{2} S[q] ~=~\int{\rm d}t~L$$ tal que las derivadas de Euler-Lagrange $$\tag{3} \frac{\delta S}{\delta q^i}~=~E_i$$ se convierten precisamente en el $E_i$ -¿funciones?

El problema restringido anterior es relativamente fácil de responder de una vez por todas, porque se pueden diferenciar las $E_i$ -para llegar a un conjunto de condiciones de consistencia. Para simplificar, supongamos que las funciones $E_i=E_i(q)$ no implican velocidades generalizadas $\dot{q}^i$ , aceleraciones $\ddot{q}^i$ y así sucesivamente. Entonces podemos suponer que el Lagrangiano $L$ no depende de las derivadas temporales de $q^i$ también. Así que la pregunta es si

$$\tag{4} \frac{\partial L}{\partial q^i}~=~E_i ?$$

Podemos recoger la información de los eoms en un formulario único

$$\tag{5} E~:=~E_i ~{\rm d}q^i.$$

La pregunta se reescribe como

$$\tag{6} {\rm d}L~=~E?$$

Por lo tanto, el lagrangiano $L$ existe si $E$ es una forma única exacta.

III) Sin embargo, la discusión anterior es, en muchos sentidos, excesivamente simplificada. Las eoms (1) hacen no ¡tienen una forma única! Por ejemplo, se puede multiplicar el $E_i$ -con una función invertible $q$ -matriz dependiente $A^i{}_j$ de tal manera que las eoms (1) se leen de manera equivalente

$$\tag{7} \sum_{i=1}^n E_i A^i{}_j~\approx~ 0.$$

O quizás las variables del sistema $q^i$ ¿debe considerarse como un subsistema de un sistema mayor con más variables dinámicas o auxiliares?

En última instancia, la cuestión principal es si los eoms tienen un principio de acción o no; la forma particular de los eoms (que las ecuaciones de Euler-Lagrange escupen) es no importante en este contexto.

Esto abre muchas posibilidades, y puede ser muy difícil encontrar sistemáticamente un principio de acción; o, a la inversa, demostrar un teorema de no-go que un conjunto dado de eoms es no variante.

Answer 2

Obviamente se pueden cocinar matemáticamente ecuaciones de movimiento que no surgirían de un principio de acción.

La motivación original para creer que la Naturaleza obedece a una Ley de Mínima Acción era metafísica, y luego resultó que en realidad, sólo se podía garantizar que la acción fuera estacionario Además, hay que ser cauteloso a la hora de postular que la Naturaleza tiene para hacer algo que hemos deducido en base a motivaciones filosóficas.

Pero desde Hertz y Einstein ha habido otra motivación. (Queda por ver si resistirá el paso del tiempo mejor que la teoría de cuerdas). Gauss, Hertz, y después de ellos, Klein (véase Whittaker, Dinámica analítica , p. 254 y ss. y Hertz, Los principios de la mecánica , http://www.archive.org/details/principlesofmech00hertuoft ) reformuló la mecánica newtoniana en términos de un espacio curvo abstracto en el que todas las partículas seguían geodésicas. La métrica sobre el espacio se cocinó a partir de las fuerzas que actuaban sobre el sistema, y todas las leyes de la mecánica se redujeron al principio de Hertz de la menor curvatura en lugar de la menor acción. Ahora bien, después de Einstein sabemos que si interpretamos la gravedad como la métrica del espacio-tiempo, entonces las partículas bajo la influencia de la gravedad siguen una geodésica. Se trata de una generalización del antiguo principio de inercia: con Newton se enunciaba que una partícula sobre la que no actúa una fuerza se desplaza en línea recta, es decir, una geodésica en el espacio plano newtoniano. Einstein lo reformuló como se ha dicho anteriormente. La búsqueda de una teoría del campo unificado (no cuántica) siempre estuvo motivada por esto: definir una geometría en el espacio-tiempo basada en las fuerzas de la Naturaleza de manera que todas las trayectorias sean geodésicas. La idea física es la misma que subyace a la ley de la inercia original: natural El movimiento sin restricciones es recto es decir, geodésica. Pero las geodésicas siempre obedecen a algún principio variacional.

Si tomamos en serio el punto de vista de Einstein, y pensamos que sobrevivirá cuando sea tratado cuánticamente, entonces la respuesta a tu pregunta sería: si el conjunto de trayectorias surge como el conjunto de geodésicas de alguna métrica en el espacio relevante, entonces hay un principio de acción físicamente significativo que gobierna la dinámica.

Answer 3

Nota: : He decidido rehacer completamente esta respuesta. No estaba satisfecho con ella y estaba incompleta. He sustituido las derivadas funcionales como herramienta principal por los operadores de Euler y Helmholtz, ya que así es más riguroso matemáticamente.

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El problema por el que pregunta OP se llama problema inverso al cálculo de variaciones . Es útil separar este problema en dos ramas, la problema inverso débil y el problema inverso fuerte (no son nombres estándar). Además, también es útil separarlos en global y problemas locales .

Esta respuesta se centrará en el problema local débil, pero también haré algunas observaciones sobre el problema fuerte y global.

1 . Preliminares:

Fijemos primero algunas anotaciones.

Variablies, índices. Consideramos que $m$ variables independientes $x=(x^1,\dots,x^m)=(x^i)$ y $n$ componentes de campo $\psi(x)=(\psi^1(x),\dots,\psi^n(x))=(\psi^\sigma(x))$ .

El espacio de las variables independientes se denomina $X\subseteq\mathbb R^m$ y se considera algún subconjunto abierto de la cartesiana $m$ -espacio. Como estamos interesados en los aspectos formales del cálculo de variaciones, supondré que todos los campos/funciones son $C^\infty$ ya que no tengo interés en considerar los extremos débiles y este tipo de problemas aquí.

Como se ha indicado, los índices latinos $i,j,k,\dots$ tomar los valores $1,\dots,m$ y los índices griegos toman los valores $1,\dots,n$ . Se asume la convención de la suma, excepto para los multiíndices que se introducirán más adelante.

Asumimos a lo largo de esta respuesta que tanto el conjunto $X$ de varibles independientes, y el espacio de campo involucrado son contractibles a $0$ , lo que significa explícitamente que si $x$ es un conjunto de variables permitido, entonces también lo es $sx$ para $0\le s\le 1$ y si $\psi$ es una configuración de campo permitida, entonces $s\psi$ también es un campo permitido para $0\le s\le 1$ .

Funcionales. El objeto $f$ es un funcional local si asigna un campo $\psi$ en un función $f[\psi]$ definido en $X$ tal que el valor $f[\psi](x)$ depende sólo de $x$ y los valores de las derivadas de $\psi$ hasta un orden finito $r$ que se llama pedir de $f$ . Tenga en cuenta que si $f$ es el orden $r$ entonces también es trivial el orden $s$ para $s\ge r$ .

Podemos entonces escribir $$f[\psi](x)=f(x,\psi(x),\psi^{(1)}(x),\dots,\psi^{(r)}(x)),$$ donde $$\psi^{(r)}(x):=\left(\psi^\sigma_{i_1...i_r}(x)\right)_{i_1\le\cdots\le i_r},$$ y $\psi^\sigma_{i_1...i_r}:=\partial_{i_1}\dots\partial_{i_r}\psi^\sigma$ . La restricción $i_1\le\dots\le i_r$ es necesario porque las derivadas superiores son simétricas en los índices y, por tanto, sólo son independientes si las restringimos de esta manera.

Nos referiremos a un funcional local $L[\psi]=L(x,\psi,\dots,\psi^{(r)})$ de un solo componente como Lagrangiano y a un funcional local $\varepsilon_\sigma[\psi]=\varepsilon_\sigma(x,\psi,\dots,\psi^{(r)})$ con $n$ (número de componentes de campo) como expresión de la fuente .

Derivados. Porque es inconveniente ordenar las sumas, si $f$ es una función local y deja que $$\frac{\eth f}{\eth \psi^\sigma_{i_1...i_k}},\quad i_1\le\dots \le i_k$$ denotan las derivadas con respecto a las variables derivadas. Extender estas derivadas simétricamente a todos los órdenes de los índices $i_1\dots i_k$ , entonces define el derivada simétrica para ser $$\frac{\partial f}{\partial \psi^\sigma_{i_1...i_k}}:=\frac{m_1!\dots m_m!}{k!}\frac{\eth f}{\eth \psi^\sigma_{i_1...i_k}},$$ donde $m_i$ es el número de veces que el índice $i$ aparece en $i_1\dots i_k$ . Este coeficiente multinomial garantizará que la regla de la cadena pueda utilizarse con derivadas simétricas sin factores adicionales. Observamos que $$\frac{\partial \psi^\sigma_{j_1...j_k}}{\partial\psi^\tau_{i_1...i_k}}=\delta^\sigma_\tau\delta^{i_1}_{(j_1}\dots\delta^{i_k}_{j_k)}.$$ Con estas convenciones el derivado total de un funcional local es $$d_if\equiv\frac{df}{dx^i}=\frac{\partial f}{\partial x^i}+\sum_{k=0}^r\psi^\sigma_{i_1...i_ki}\frac{\partial f}{\partial\psi^\sigma_{i_1...i_k}}.$$

Multiíndice. Para los índices latinos, a multiíndice $I$ de longitud $r$ es una lista ordenada de $r$ índices ordinarios, por ejemplo $I=(i_1\dots i_r)$ . Para la longitud escribimos $|I|=r$ .

Sólo utilizamos multiíndices para las cantidades que son simétrico en sus índices, y la convención de suma no es válida para ellos, es decir, siempre indicamos sumas sobre multiíndices. Esto se debe a que los multiíndices pueden sumarse de varias maneras. Por ejemplo, la derivada total puede escribirse como $$d_i f=\frac{\partial f}{\partial x^i}+\sum_{|I|=0}^r\psi^\sigma_{Ii}\frac{\partial f}{\partial\psi^\sigma_I}.$$

2. Los problemas inversos débil y fuerte:

En el fondo, el problema inverso es el siguiente. Si $L[\psi]$ es un lagrangiano de orden $r$ entonces el operador de Euler-Lagrange (EL) $$E_\sigma(L)=\sum_{|I|=0}^r(-d)_I\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_{I}},\quad (-d)_I =(-1)^{|I|}d_I,\quad d_I=d_{i_1}\dots d_{i_k}$$ lo mapea en una expresión de origen de orden $2r$ .

Así pues, dada una ecuación diferencial representada mediante la puesta a cero de una expresión fuente, es decir $$\varepsilon_\sigma[\psi]=0,$$ cuando un lagrangiano $L$ existe tal que $E_\sigma(L)=\varepsilon_\sigma$ y cómo encontrar uno (o mejor aún, todos) esos lagrangianos. Si existe un lagrangiano para $\varepsilon_\sigma$ entonces decimos que es variacional .

Estrictamente hablando, este es el problema inverso débil . Como indica la respuesta de Qmechanic, la principal dificultad no es resolver el problema débil, sino que las ecuaciones de la EL siempre tienen una forma algebraica específica. Es fácil ver que, por ejemplo, si $\varepsilon_\sigma$ es una expresión EL y $f$ es una función (ni siquiera tiene que ser un funcional local), entonces $f\varepsilon_\sigma$ ya no es una expresión EL. Pero si $f$ no es cero en ninguna parte, entonces las soluciones de $\varepsilon_\sigma[\psi]=0$ y $f\varepsilon_\sigma[\psi]=0$ coinciden claramente.

Así que el problema inverso fuerte se trata de caracterizar cuándo es una expresión de fuente equivalente a una que sea variacional.

Analogía. El problema es bastante similar a un problema análogo en cálculo ordinario/geometría diferencial al que el teorema de integrabilidad de Frobenius proporciona una solución adecuada (desafortunadamente para el problema variacional fuerte, no conocemos ningún "teorema variacional de Frobenius").

Para considerar un "ejemplo ur", dejemos que $\omega$ ser un $1$ -en una variedad de dimensión finita y estamos interesados en averiguar cuándo es $\omega$ ortogonal a una pila de (hiper)superficies (es decir, una foliación). Sabemos que las foliaciones por hipersuperficies pueden describirse localmente como los conjuntos de niveles de una función suave con diferencial no evanescente, por lo que podemos intentar comprobar la condición $\omega=df$ que, por el lema de Poincaré, es localmente equivalente a $d\omega=0$ y, de hecho, a través de los operadores de homotopía de Rham habituales, una $f$ puede construirse explícitamente.

Pero esta condición es demasiado restrictiva, $\omega$ sigue siendo ortogonal a la foliación si existe una función $g$ tal que $\omega=gdf$ pero $\omega$ no es necesariamente exacta en este caso. El teorema de Frobenius establece que las condiciones de integrabilidad local completa de esta ecuación es $d\omega\wedge\omega=0$ es decir $\omega$ ya no tiene que ser cerrado, sino sólo "cerrado módulo a sí mismo".

Multiplicadores variacionales. Por lo tanto, dejemos que $\varepsilon_\sigma[\psi]$ sea una expresión de origen, y $A^\sigma_{\ \tau}[\psi]$ un invertible matriz cuyos elementos son también funcionales locales. Esta matriz es una multiplicador variacional para $\varepsilon$ si la expresión de origen $$\bar{\varepsilon}_\sigma[\psi]=A^\tau_{\ \sigma}[\psi]\varepsilon_\tau[\psi]$$ es variacional.

El problema del multiplicador es una forma del problema inverso fuerte que se ocupa de la cuestión de caracterizar aquellas expresiones fuente que admiten multiplicadores variacionales.

Problemas más generales. Los multiplicadores variacionales no agotan todas las posibilidades del problema inverso fuerte. Por ejemplo, además de las variables de campo $\psi^\sigma$ también se pueden introducir otras variables $\lambda^\alpha$ de tal manera que la dinámica deseada del $\psi^\sigma$ surgen como la dinámica de un subsistema del sistema que consiste en las variables totales $\psi$ y $\lambda$ (y tal vez esto último pueda hacerse variacional). Esto puede dar una Aproximadamente equivalencia con el sistema original, o puede ocurrir que el $\lambda$ son multiplicadores de Lagrange son variables "puramente gauge" y su propia dinámica es inobservable o se desacopla de la de $\psi$ .

También está el ejemplo de las ecuaciones de Maxwell donde las ecuaciones originales de primer orden de Maxwell para $F_{ij}$ son no variacionales, pero una de las ecuaciones puede resolverse (al menos localmente, mediante el lema de Poincaré) para los potenciales $A_i$ Entonces, al reinsertar los potenciales en la otra ecuación, se obtiene una ecuación de segundo orden para los potenciales que es variacional.

Ejemplos. Aquí consideramos dos ejemplos de multiplicadores variacionales:

1. La ecuación $\varepsilon[\psi]=m\psi^{\prime\prime}+k\psi^\prime+\frac{\partial U}{\partial\psi}$ ( $m=n=1$ ) que cuando $x$ se interpreta como tiempo y $\psi$ como la posición (y los primos son $x$ -derivadas) describe el movimiento unidimensional de una partícula afectada por un potencial $U=U(x,\psi)$ y también una fuerza de disipación (arrastre del aire) proporcional a la velocidad. Esta ecuación no es variacional, pero si multiplicamos por $\exp(\frac{k}{m}x)$ se convierte en variacional con el Lagrangiano $$L[\psi]=e^{\frac{k}{m}x}\left(\frac{1}{2}m\psi^{\prime 2}-U\right).$$
2. La ecuación de campo de Einstein (en el vacío) $\varepsilon_{ij}[g]=G_{ij}[g]$ ( $G_{ij}=R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij}$ es el tensor de Einstein) no es variacional. Sin embargo, si tomamos como expresión de origen la tensor de Einstein densificado $\mathfrak G_{ij}=G_{ij}\sqrt{-\mathfrak g}$ (aquí $\mathfrak g$ es el determinante de la métrica), entonces se convierte en variacional y un posible Lagrangiano es el Lagrangiano de Einstein-Hilbert de segundo orden $$L[g]=R\sqrt{-\mathfrak g}.$$

Soluciones. El problema inverso fuerte no tiene actualmente ninguna solución completa. Existen algunos resultados parciales que voy a mencionar con enlaces al final de esta respuesta.

3. Solución del problema inverso débil-local:

En esta sección detallamos la solución del problema inverso débil y local. Por lo tanto, el problema consiste en determinar cuándo es una expresión fuente $\varepsilon_\sigma[\psi]$ variacional tal cual y determinar un lagrangiano. La localidad aquí significa que estamos trabajando en un espacio de coordenadas contráctil (como se menciona en la introducción) en lugar de una variedad general y, por lo tanto, no pueden surgir obstrucciones topológicas.

La solución será del tipo "de Rham", es decir, podemos definir un complejo formal de co-cadenas $$\left\{\text{Currents}\right\}\xrightarrow{\mathrm{Div}}\left\{\text{Lagrangians}\right\}\xrightarrow{E}\left\{\text{Source expr.}\right\}\xrightarrow{H}\left\{\text{Lin. diff. ops.}\right\},$$ donde corrientes son funcionales locales $K^i[\psi]$ con $m$ componentes (campos vectoriales funcionales), $\mathrm{Div}$ es tomar la divergencia total, es decir $\mathrm{Div}(K)=d_i K^i$ , $E$ es el operador de Euler-Lagrange y $H$ es algo llamado Operador de Helmholtz que toma expresiones de origen y las mapea en los coeficientes de ciertos operadores diferenciales lineales formalmente anti-selfjoint.

La propiedad crucial es que se trata efectivamente de un complejo de co-cadenas en el sentido de que al componer dos flechas subsiguientes se obtiene cero, es decir $E\circ\mathrm{Div}=0$ y $H\circ E=0$ . Esta secuencia es exacto si en cierto sentido también es cierto lo contrario, es decir, si $E(L)=0$ para un Lagrangiano, entonces hay una corriente $K$ tal que $L=\mathrm{Div}(K)$ y si $H(\varepsilon)=0$ para una expresión de la fuente, entonces hay un Lagrangiano $L$ tal que $\varepsilon=E(L)$ .

La exactitud se demuestra más fácilmente en términos de operadores de homotopía es decir, tenemos que encontrar tres operadores lineales $$\mathbb Q:\left\{\text{Lin. diff. ops.}\right\}\rightarrow \left\{\text{Source expr.}\right\}, \\ \mathbb{L}:\left\{\text{Source expr.}\right\}\rightarrow \left\{\text{Lagrangians}\right\}, \\ \mathbb H: \left\{\text{Lagrangians}\right\}\rightarrow \left\{\text{Currents}\right\},$$ que satisfacen $$L=\mathbb L(E(L))+\mathrm{Div}(\mathbb H(L)),\qquad (\ast) \\ \varepsilon=\mathbb Q(H(\varepsilon))+E(\mathbb L(\varepsilon)),\qquad \quad(\ast\ast)$$ para todos los Lagrangianos $L$ y expresiones de origen $\varepsilon$ . En esta respuesta me referiré a $(\ast)$ como el primera fórmula de homotopía y $(\ast\ast)$ es el segunda fórmula de homotopía . El operador de homotopía $\mathbb L$ es a menudo llamado el Vainberg-Tonti y su valor $\mathbb L(\varepsilon)$ en una expresión de origen como el Lagrangiano de Vainberg-Tonti asociado a la expresión de origen $\varepsilon$ . Los operadores $\mathbb Q$ y $\mathbb H$ no tienen ningún nombre estándar, sin embargo estoy tentado de llamar a $\mathbb H$ el Operador Horndeski ya que creo que fue derivado por primera vez por Horndeski en [1].

Es evidente que el resultado de exactitud deseado se desprende de las fórmulas de homotopía ( $\ast$ ) y ( $\ast\ast$ ) ya que si $L$ tiene ecuaciones EL evanescentes, entonces ( $\ast$ ) da $$L=\mathrm{Div}(\mathbb H(L)),$$ es decir $L$ es la divergencia total de $\mathbb H(L)$ Mientras tanto, si $\varepsilon$ tiene expresiones de Helmholtz evanescentes, entonces ( $\ast\ast$ ) da $$\varepsilon=E(\mathbb L(\varepsilon)),$$ es decir $\mathbb L(\varepsilon)$ es un lagrangiano para $\varepsilon$ .

Fórmulas de productos de orden superior y operadores de Euler. Antes de proceder necesitamos algunas herramientas combinatorias para poder tratar el elevado número de derivadas que aparecen en un problema de variabilidad de órdenes arbitrarios.

Si $f,g^I=g^{i_1...i_r}$ son funciones (suaves) sobre $X$ (no es necesario que sean funcionales) con $g^I$ simétrica en sus índices, tenemos la fórmula de producto superior $$\sum_{|I|=r}\partial_I(fg^I)=\sum_{|I|+|J|=r}C^{|I|+|J|}_{|I|}\partial_If\partial_J g^{IJ},$$ donde $$C^{r}_{s}:=\left(\begin{matrix}r \\ s\end{matrix}\right)$$ es la notación corta para el coeficiente binomial.

También tenemos el fórmula de integración por partes superior $$\sum_{|I|=r}\partial_If g^I=\sum_{|I|+|J|=r}C^{|I|+|J|}_{|I|}\partial_I\left(f(-\partial)_J g^{IJ}\right).$$ No son difíciles de demostrar por inducción en el orden $r$ de los derivados.

Dejemos ahora $L=L[\psi]$ sea un lagrangiano de orden $r$ y calculamos su variación que da $$\delta L[\psi,\delta\psi]=\sum_{|I|=0}^r\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_I}\delta\psi^\sigma_I=\sum_{|I|+|J|=0}^r C^{|I|+|J|}_{|I|}d_I\left(\delta\psi^\sigma(-d)_J\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_{IJ}}\right),$$ donde se ha utilizado la fórmula de integración por partes de orden superior. Ahora cambiamos el sumatorio de forma que primero $|J|$ va de $0$ à $r-|I|$ entonces $|I|$ va de $0$ à $r$ (son equivalentes) para obtener $$\delta L[\psi,\delta\psi]=\sum_{|I|=0}^r d_I\left(\delta\psi^\sigma\sum_{|J|=0}^{r-|I|}C^{|I|+|J|}_{|I|}(-d)_J\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_{IJ}}\right) \\ =\sum_{|I|=0}^r d_I(E^I_\sigma(L)\delta\psi^\sigma),$$ donde $$E^I_\sigma(L)=\sum_{|J|=0}^{r-|I|}C^{|I|+|J|}_{|I|}(-d)_J\frac{\partial L}{\partial \psi^\sigma_{IJ}},\quad 0\le|I|\le r$$ son los llamados operadores de Euler superiores (también llamado Operadores de Lie-Euler por Anderson en [2]).

Aplicando la fórmula del producto a la expresión definitoria obtenemos también la relación inversa $$\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_I}=\sum_{|J|=0}^\infty C^{|I|+|J|}_{|I|}d_JE^{IJ}_\sigma(L),$$ donde la suma es finita, simplemente no me molesté en calcular cuál es el último término no nulo.

Para $|I|=0$ claramente $E_\sigma$ es sólo el operador ordinario de Euler-Lagrange, y dividiendo las sumas tenemos también el fórmula de la primera variación $$\delta L[\psi,\delta\psi]=E_\sigma(L)[\psi]\delta\psi^\sigma+d_i\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[\psi]\delta\psi^\sigma\right),$$ donde también escribimos $$\Theta^i(L)[\psi,\delta\psi]=\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[\psi]\delta\psi^\sigma\right).$$

La primera fórmula de homotopía. Una relación que necesitamos aquí es que para cualquier funcional local $f[\psi]$ tenemos $$(d_if)[s\psi]=d_i(f[s\psi])$$ para un parámetro real $s$ es decir, podemos tomar primero la derivada total y luego evaluar en $s\psi$ o evaluar primero en $s\psi$ y luego tomar la derivada total y ambas darán los mismos resultados. Esto es fácil de demostrar escribiendo explícitamente la derivada total.

A continuación, calculamos $dL[s\psi]/ds$ , donde $L$ es un lagrangiano de orden $r$ para conseguir $$\frac{d}{ds}L[s\psi]=\sum_{|I|=0}^r\frac{\partial L}{\partial\psi^\sigma_I}[s\psi]\psi^\sigma_I=E_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma+d_i\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma\right),$$ donde hemos seguido básicamente los mismos pasos que en la demostración de la primera fórmula de variación.

Ahora integramos esto desde $0$ à $1$ con respecto a $s$ , dando $$L[\psi]-L[0]=\int_0^1E_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma ds+d_i\int_0^1\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma\right)ds.$$

Aquí podemos utilizar el hecho de que $L[0]$ ya no es una función local, sino una función ordinaria de las coordenadas $x^i$ por lo que se aplica el lema habitual de Poincaré, y porque el dominio $X$ es contraíble a cero, podemos expresar $L[0]$ como una divergencia: $$L[0](x)=\partial_i\int_0^1 s^{m-1}L[0](sx)x^i ds,$$ y aquí podemos sustituir las derivadas parciales por las derivadas totales ya que $L[0]$ es constante como funcional, que al insertarla en la fórmula anterior da $$L[\psi]=\int_0^1E_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma ds+d_i\int_0^1\left(\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma\right)+s^{m-1}L[0](sx)x^i\right)ds.$$

Esta es la fórmula homotópica deseada ( $\ast$ ) y podemos leer que los operadores de homotopía son $$\mathbb L(\varepsilon)[\psi]=\int_0^1\varepsilon_\sigma[s\psi]\psi^\sigma ds$$ y $$\mathbb H^i(L)[\psi]=\int_0^1\left(\sum_{|I|=0}^{r-1}d_I\left(E^{iI}_\sigma(L)[s\psi]\psi^\sigma\right)+s^{m-1}L[0](sx)x^i\right)ds.$$ La segunda fórmula de homotopía. Este es un buen lugar para definir el operador de Helmholtz $H$ actuando sobre una expresión de origen $\varepsilon=(\varepsilon_\sigma)$ de orden $r$ por $$H^I_{\sigma\tau}(\varepsilon)=\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_I}-(-1)^{|I|}E_\sigma^I(\varepsilon_\tau),\quad 0\le |I|\le r.$$ Cuando la expresión de origen es la orden $2$ como es bastante común, las expresiones de Helmholtz no nulas son $$H_{\sigma\tau}(\varepsilon)=\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau}-\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma}+d_i\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_i}-d_id_j\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_{ij}} \\ H^i_{\sigma\tau}(\varepsilon)=\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_i}+\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_i}-2d_j\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_{ij}} \\ H^{ij}_{\sigma\tau}(\varepsilon)=\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_{ij}}-\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_{ij}}.$$

Ahora tomamos una forma de fuente arbitraria $\varepsilon_\sigma[\psi]$ de decir orden $r$ y comparar $\varepsilon$ à $E(\mathbb L(\varepsilon))$ . Primero calculamos $$\frac{d}{ds}\left(s\varepsilon_\sigma[s\psi]\right)=\varepsilon_\sigma[s\psi]+\sum_{|I|=0}^rs\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_I}[s\psi]\psi^\tau_I,$$ e integrar esto desde $0$ à $1$ para conseguir $$\varepsilon_\sigma[\psi]= \int_0^1\varepsilon_\sigma[s\psi] ds+\int_0^1\sum_{|I|=0}^rs\frac{\partial \varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_I}[s\psi]\psi^\tau_I .$$

A continuación, calculamos $$E_\sigma(\mathbb L(\varepsilon))[\psi]=\sum_{|I|=0}^r(-d)_I\frac{\partial}{\partial\psi^\sigma_I}\int_0^1\varepsilon_\tau[s\psi]\psi^\tau ds \\=\sum_{|I|=0}^r(-d)_I\int_0^1s\frac{\partial\varepsilon_\tau}{\partial\psi^\sigma_I}[s\psi]\psi^\tau ds+\int_0^1\varepsilon_\sigma[s\psi]ds,$$ entonces utiliza la fórmula del producto de orden superior y la definición de los operadores de Euler en el primer término para obtener $$E_\sigma(\mathbb L(\varepsilon))[\psi]=\int_0^1\sum_{|I|=0}^r(-1)^{|I|}s\psi^\tau_IE^I_\sigma(\varepsilon_\tau)[s\psi]ds+\int_0^1\varepsilon_\sigma[s\psi]ds.$$ La sustracción da ahora $$\varepsilon_\sigma[\psi]-E_\sigma(\mathbb L(\varepsilon))[\psi]=\int_0^1s\sum_{|I|=0}^r\left(\frac{\partial\varepsilon_\sigma}{\partial\psi^\tau_I}[s\psi]-(-1)^{|I|}E_\sigma^I(\varepsilon_\tau)[s\psi]\right)\psi^\tau_Ids \\ =\int_0^1 s\sum_{|I|=0}^r H^I_{\sigma\tau}(\varepsilon)[s\psi]\psi^\tau_I ds,$$ lo que demuestra la segunda fórmula de homotopía ( $\ast\ast$ ) con $$\mathbb Q_\sigma(A)[\psi]=\int_0^1 \sum_{|I|=0}^rA^I_{\sigma\tau}[s\psi]s\psi^\tau_I ds.$$

Para completar las pruebas de todas las relaciones introducidas anteriormente, todavía tenemos que demostrar que $H(E(L))=0$ es decir, el operador de Helmholtz desaparece en las expresiones EL.

Esto se demuestra más fácilmente definiendo $\mu=dx^1\wedge\dots dx^m$ y la acción funcional $$S_\Omega[\psi]=\int_\Omega L[\psi]\mu$$ asociado a la lagrangiana $L$ , donde $\Omega$ es un dominio regular (compacto, es el cierre de un conjunto abierto, su frontera es suave a trozos, etc., es decir, se le aplica el teorema de Stokes), entonces consideramos un dominio suave dos parámetros familia $\psi_{t,s}^\sigma(x)$ de los campos tales que $\psi_{0,0}=\psi$ . Sea $\delta_1:=\frac{\partial}{\partial s}|_{s=t=0}$ y $\delta_2:=\frac{\partial}{\partial t}|_t=0$ . Entonces por la conmutatividad de las derivadas parciales tenemos $$0=\left.\frac{\partial S_\Omega[\psi_{t,s}]}{\partial s\partial t}\right|_{t=s=0}-\left.\frac{\partial S_\Omega[\psi_{t,s}]}{\partial t\partial s}\right|_{t=s=0}=\int_\Omega\sum_{|I|=0}^{2r}\left(\frac{\partial E_\sigma(L)}{\partial\psi^\tau_I}\delta_1\psi^\tau_I\delta_2\psi^\sigma-\frac{\partial E_\tau(L)}{\partial\psi^\sigma_I}\delta_1\psi^\tau\delta_2\psi^\sigma_I\right)\mu+\int_\Omega\mathrm{Div}(\cdots)\mu.$$ Integramos por partes en el segundo mandato para conseguir $$0=\int_\Omega\sum_{|I|=0}^{2r}\left(\frac{\partial E_\sigma(L)}{\partial\psi^\tau_I}-(-1)^{|I|}E^I_\sigma(E_\tau(L))\right)\delta_1\psi^\tau_I\delta_2\psi^\sigma\mu+\int_\Omega\mathrm{Div}(\cdots)\mu \\ =\int_\Omega\sum_{|I|=0}^{2r}H^I_{\sigma\tau}(E(L))\delta_1\psi^\tau_I\delta_2\psi^\sigma\mu+\int_\Omega\mathrm{Div}(\cdots)\mu.$$ Como esto es cierto para las variaciones arbitrarias $\delta_1\psi$ y $\delta_2\psi$ , establecemos $\delta_2\psi$ para ser una función de baches con un soporte estrecho dentro de $\Omega$ . Entonces el término de divergencia desaparece (es un término de frontera), y por el argumento habitual del lema de Lagrange, los coeficientes de $\delta_2\psi$ debe desaparecer también. Obtenemos $$0=\sum_{|I|=0}^{2r}H^I_{\sigma\tau}(E(L))\delta_1\psi^\tau_I.$$ Se deduce que todas las expresiones de Helmholtz $H^I_{\sigma\tau}(E(L))$ debe desaparecer por separado, porque podemos, por ejemplo, establecer $\delta_1\psi$ sea una constante arbitraria, lo que obliga a $H_{\sigma\tau}(E(L))$ para que desaparezca, cuando podemos establecer $\delta_1\psi$ tal que sus primeras derivadas son arbitrarias, lo que obliga a $H^i_{\sigma\tau}(E(L))$ para que desaparezca, entonces podemos establecer $\delta_1\psi$ para tener segundas derivadas arbitrarias (simétricas en los índices, pero también lo es $H$ ), que prevé $H^{ij}_{\sigma\tau}(E(L))$ desaparecer, etc. Así pues, tenemos $$H^I_{\sigma\tau}(E(L))=0\quad 0\le |I|\le 2r$$ para todos los Lagrangianos $L$ de orden $r$ como hemos afirmado.

Con esto concluye el tratamiento del problema inverso local débil.

Por último, observamos que el operador de Vainberg-Tonti $\mathbb L$ y el operador Horndeski $\mathbb H$ no son "eficientes" en el sentido de que suelen producir objetos de orden superior al necesario. El operador EL convertirá un lagrangiano de orden $r$ en una expresión fuente de orden $2r$ pero la lagrangiana de Vainberg-Tonti de un orden $2r$ la expresión de origen es el orden $2r$ también. Asimismo, una corriente de orden $r-1$ se diferencia en un Lagrangiano de orden $r$ pero la corriente Horndeski de un orden $r$ El lagrangiano es de orden $2r-1$ .

Se pueden encontrar algunos resultados de reducción de orden en [2].

4. Consideraciones globales:

Si la estructura global de estos operadores y la validez global (o la falta de ella) de las fórmulas de homotopía ( $\ast$ ) y ( $\ast\ast$ ), se necesita una formulación geométrica diferencial adecuada del cálculo de variaciones.

En este caso $X$ es un $m$ dimensional y consideramos una variedad fibrosa $\pi:Y\rightarrow X$ en $X$ con $n$ fibras dimensionales. Las funciones de campo que aparecen en el problema variacional se interpretan como secciones de $\pi$ .

Se puede entonces construir la prolongación del chorro infinito $J^\infty Y$ de esta variedad fibrosa y este es el lugar donde viven los "funcionales locales". Los objetos relevantes son en realidad formas diferenciales en este espacio. Tenemos un complejo doble diferencial de gran gradación $(\mathcal O^{\bullet,\bullet}(Y),d_H,\delta)$ de formas diferenciales en $J^\infty Y$ donde $\mathcal O^{k,l}(Y)$ es el conjunto de formas diferenciales con $k$ horizontal y $l$ grados de contacto. El diferencial horizontal $$d_H:\mathcal O^{k,l}(Y)\rightarrow\mathcal O^{k+1,l}(Y)$$ es lo que corresponde a tomar las divergencias totales y el diferencial vertical $$\delta:\mathcal O^{k,l}(Y)\rightarrow\mathcal O^{k,l+1}(Y)$$ corresponde a la toma de variaciones. Los grados horizontales están limitados a $m$ mientras que los grados verticales pueden aumentar indefinidamente.

Se pueden definir los operadores $I:\mathcal O^{m,l}(Y)\rightarrow\mathcal O^{m,l}(Y)$ para $l\ge 1$ que tiene la propiedad de que los espacios $\mathcal F^l(Y):=I(\mathcal O^{m,l}(Y))$ aparecen en la descomposición de la suma directa $$\mathcal O^{m,l}(Y)=\mathcal F^l(Y)\oplus d_H\mathcal O^{m-1,l}(Y).$$ Entonces el doble complejo diferencial anterior aumentado con los espacios $\mathcal F^l(Y)$ se llama bicomplejo variacional asociada al colector de fibras $\pi:Y\rightarrow X$ . En concreto, lo más interesante es la secuencia $$0\xrightarrow{}\mathbb R\xrightarrow{}\mathcal O^{0,0}\xrightarrow{d_H}\mathcal O^{1,0}\xrightarrow{}\cdots\xrightarrow{d_H}\mathcal O^{m-1,0}\xrightarrow{d_H}\mathcal O^{m,0} \\ \mathcal O^{m,0}\xrightarrow{\delta_\ast}\mathcal F^1\xrightarrow{\delta_\ast}\mathcal F^2\xrightarrow{\delta_\ast}\cdots,$$ donde $\delta_\ast=I\circ\delta$ es el diferencial inducido. Esta secuencia se denomina Secuencia variacional o Secuencia de Euler-Lagrange .

El término $\mathcal O^{m-1,0}(Y)$ puede interpretarse como el espacio de las corrientes, $\mathcal O^{m,0}(Y)$ como el espacio de los Lagrangianos, $\mathcal F^1(Y)$ como el espacio de las expresiones de origen y $\mathcal F^2(Y)$ como el espacio de los operadores diferenciales lineales apropiados a los que mapea el operador de Helmholtz. Las diferenciales $\delta_\ast$ reproducir el operador EL cuando se aplica a $\mathcal O^{m,0}$ y el operador de Helmholtz cuando se aplica a $\mathcal F^1(Y)$ .

Mediante métodos de álgebra homológica y teoría de gavillas es posible calcular la cohomología del complejo variacional. Resulta que $$H(\mathcal O^{k,0}(Y))\cong H^k_{\mathrm{dR}}(Y)$$ y $$H(\mathcal F^k(Y))\cong H^{m+k}_{\mathrm{dR}}(Y),$$ es decir, la cohomología del complejo variacional es isomorfa a la cohomología de Rham de $Y$ que permite conocer los obstáculos globales a la exactitud calculando la cohomología de $Y$ .

5. Observaciones sobre las soluciones parciales del problema inverso fuerte:

[Trabajo en curso]

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Referencias:

• [1] G.W. Horndeski: Condiciones de suficiencia bajo las cuales un lagrangiano es una divergencia ordinaria. (1975)
• [2] I. M. Anderson: El bicomplejo variacional (libro/informe técnico inacabado e inédito; se puede encontrar fácilmente en Internet; sigue siendo la obra "canónica" sobre el tema)
• D. Krupka: Introducción a la geometría variacional global

Los documentos originales son

• E. Tonti: Formulaciones variacionales de ecuaciones diferenciales no lineales (1969)
• M. M. Vainberg: Métodos variacionales para el estudio de operadores no lineales (1964)
• F. Takens: Una versión global del problema inverso del cálculo de variaciones (1979)
• A. Vinogradov: Una secuencia espectral que está conectada con una ecuación diferencial no lineal, y los fundamentos algebraico-geométricos de la teoría del campo de Lagrange con restricciones (1978)
• W. M. Tulczyjew: La resolución de Euler-Lagrange (1980)
• I. M. Anderson, T. Duchamp: Sobre la existencia de principios variacionales globales (1980)