Diferencia entre autocorrelación y autocorrelación parcial

Question

He leído algunos artículos sobre la autocorrelación parcial de las series temporales y tengo que admitir que no comprendo realmente la diferencia con una autocorrelación normal. Se suele decir que la autocorrelación parcial entre $y_t$ y $y_t-k$ es la correlación entre $y_t$ y $y_t-k$ con la influencia de las variables entre $y_t$ y $y_t-k$ ¿Retirada? No entiendo esto. Si calculamos la correlación entre $y_t$ y $y_t-k$ entonces, de todos modos, las variables intermedias no están consolidadas en absoluto si se utiliza el coeficiente de correlación para hacerlo. El coeficiente de correlación sólo tiene en cuenta dos variables, hasta donde yo sé.

Esto realmente me confunde. Espero que me puedan ayudar en esto. Apreciaría todos los comentarios y agradecería su ayuda.

Actualización: ¿Alguien puede intentar explicar cómo se puede calcular la autocorrelación y la autocorrelación parcial de una serie temporal? He entendido cómo hacerlo con una muestra pero no con una serie temporal (porque se necesitan tres variables según el ejemplo aquí https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_correlation ). ¿Conoces algún ejemplo en el que se haga esto?

Answer 1

Por un momento, olvídate de las marcas de tiempo. Considera tres variables: $X, Y, Z$ .

Digamos que $Z$ tiene un directo influencia en la variable $X$ . Puedes pensar en $Z$ como algún parámetro económico en EE.UU. que está influyendo en algún otro parámetro económico $X$ de China.

Ahora puede ser que un parámetro $Y$ (algún parámetro en Inglaterra) también está directamente influenciado por $Z$ . Pero existe una relación independiente entre $X$ y $Y$ también. Por independencia me refiero a que esta relación es independiente de $Z$ .

Así que ya ves cuando $Z$ cambios, $X$ cambios debido a la relación directa entre $X$ y $Z$ y también porque $Z$ cambia $Y$ que a su vez cambia $X$ . Así que $X$ cambios debido a dos razones.

Ahora lee esto con $Z=y_{t-h}, \ \ Y=y_{t-h+\tau}$ y $X=y_t$ (donde $h>\tau$ ).

Autocorrelación entre $X$ y $Z$ tendrá en cuenta todos los cambios en $X$ ya sea que provenga de $Z$ directamente o a través de $Y$ .

La autocorrelación parcial elimina el impacto indirecto de $Z$ en $X$ que viene a través de $Y$ .

¿Cómo se hace? Eso se explica en la otra respuesta dada a su pregunta.

Answer 2

La diferencia entre ACF (muestra) y PACF es fácil de ver desde la perspectiva de la regresión lineal.

Para obtener la muestra ACF $\hat{\gamma}_h$ en el retraso $h$ se ajusta el modelo de regresión lineal $$ y_t = \alpha + \beta y_{t-h} + u_t $$ y la resultante $\hat{\beta}$ es $\hat{\gamma}_h$ . Debido a la estacionariedad (débil), la estimación $\hat{\beta}$ es la correlación muestral entre $y_t$ y $y_{t-h}$ . (Hay algunas diferencias triviales entre cómo se calculan los momentos de la muestra entre los contextos de series temporales y de regresión lineal, pero son insignificantes cuando el tamaño de la muestra es grande).

Para obtener la muestra del PACF $\hat{\rho}_h$ en el retraso $h$ se ajusta el modelo de regresión lineal $$ y_t = \alpha + \, ? y_{t-1} + \cdots + \, ? y_{t-h + 1} + \beta y_{t-h} + u_t $$ y la resultante $\hat{\beta}$ es $\hat{\rho}_h$ . Así que $\hat{\rho}_h$ es la "correlación entre $y_t$ y $y_{t-h}$ después de controlar los elementos intermedios".

La misma discusión se aplica textualmente a la diferencia entre el ACF de población y el PACF. Sólo hay que sustituir las regresiones muestrales por regresiones poblacionales. Para un proceso estacionario AR(p), encontrará que el PACF es cero para los rezagos $h > p$ . Esto no es sorprendente. El proceso se especifica mediante una regresión lineal. $$ y_t = \phi_0 + \phi_1 y_{t-1} + \cdots \phi_p y_{t-p} + \epsilon_t $$
Si se añade un regresor (por ejemplo $y_{t-p-1}$ ) en el lado derecho que no está correlacionado con el término de error $\epsilon_t$ el coeficiente resultante (el PACF en el lag $p+1$ en este caso) sería cero.