Puede que me equivoque, pero creo que no es sencillo ya que $[x,x]=0$ y por lo tanto abeliano, lo que significa que no puede ser simple? Se agradece cualquier aclaración.
Respuesta
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No es semiprescindible. Hay dos definiciones de semisimple (no es trivial que sean equivalentes).
La primera es "una suma directa de álgebras de Lie simples". Esta queda descartada por lo que escribes.
En principio esto es suficiente, pero diré algo sobre la otra definición de semi-simple: 'el álgebra no tiene ideales solubles distintos de cero'
Si tu intuición te engaña pensando que un ideal es siempre un subespacio propio parece que el álgebra de Lie de hecho lo satisface. PERO, en realidad, el álgebra de Lie en sí misma también cuenta como un ideal propio y, como es abeliana, es resoluble. Así que de nuevo vemos que el álgebra de Lie no es semi-simple.
El álgebra de mentira es reductor sin embargo. Las álgebras de Lie reductoras son una clase de álgebras de Lie que se comportan de forma muy similar a las semisimples pero que permiten algunos ideales abelianos no demasiado salvajes. La idea de las álgebras de Lie reductoras es que incluyen no sólo todas las semisimples (en particular la $\mathfrak{sl}_n$ ), sino también el ligeramente mayor y estrechamente relacionado $\mathfrak{gl}_n$ que, por supuesto, son de interés en muchos contextos.
Más información en Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Reductive_Lie_algebra
(De acuerdo, las álgebras de Lie reductoras se definen como la suma directa de una álgebra de Lie semi-simple y una álgebra de Lie abeliana. Insisto en que la parte semisimple también puede ser el álgebra de Lie $\{0\}$ para que el álgebra de Lie sea abeliana, pero tal vez diferentes autores tengan diferentes opiniones al respecto. Actualización: tras una inspección más detallada, Wikipedia también está de acuerdo conmigo en este punto).
