Cuándo un grupo de Lie real o complejo de dimensión finita no es un grupo matricial

Question

Tengo una serie de conocimientos y hechos inconexos sobre esta cuestión, por lo que me gustaría aclarar la siguiente discusión, y también busco referencias y citas que apoyen estos conocimientos. Por favor, vea mis preguntas específicas al final, después de "discusión".

Discusión y antecedentes

En la práctica, los grupos que no tienen ninguna representación lineal fiel parecen ser raros (en el sentido de que creo que hasta finales de los años 30 no se encontró ninguno).

Por el teorema de Ado, toda álgebra de Lie abstracta de dimensión finita sobre $\mathbb{R}, \mathbb{C}$ es el álgebra de Lie de algún grupo matricial de Lie. Todos los grupos de Lie con un álgebra de Lie dada son coberturas unos de otros, por lo que incluso los grupos que no son subconjuntos de $GL\left(V\right)$ ( $V = \mathbb{R}, \mathbb{C}$ ) son cubiertas de grupos matriciales.

Sé que los grupos metaplécticos (dobles cubiertas de los grupos simplécticos $Sp_{2 n}$ ) no son grupos matriciales. Y me atrevo a decir que se sabe (aunque no lo sé) exactamente qué coberturas de grupos semisimples tienen representaciones lineales fieles, gracias a la clasificación de Cartan de todos los grupos semisimples. Pero, ¿existe una razón general conocida (es decir, un teorema que demuestre) por qué determinados grupos carecen de representaciones lineales? Creo que un grupo debe ser no compacto para carecer de representaciones lineales, porque las componentes conectadas de todos los compactos son las exponenciales del álgebra de Lie (en realidad, si alguien pudiera indicarme una referencia a una prueba de este hecho, si es que he entendido bien mis datos, también se lo agradecería). Pero a la inversa, ¿los grupos no compactos tienen siempre cubiertas que carecen de representaciones lineales fieles? Por lo tanto, aquí están mis preguntas concretas:

Preguntas específicas

Las respuestas firmes con citas de cualquiera de los siguientes puntos serían de gran ayuda:

1) ¿Existe un teorema general que diga exactamente cuándo un grupo de Lie de dimensión finita carece de una representación lineal fiel?

2) Alternativamente, cuáles de los grupos de Lie semisimples (calificados por Cartan) tienen cubiertas que carecen de representaciones lineales fieles;

3) Quién expuso por primera vez un grupo de Lie sin representación fiel y cuándo;

4) ¿Es la compacidad un factor clave en este caso? ¿Estoy en lo cierto al afirmar que un grupo complejo es siempre el exponecial de su álgebra de Lie (por favor, cite esto)? ¿Un grupo no compacto tiene siempre una cubierta que carece de una representación lineal fiel?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

La mayoría de las respuestas se pueden encontrar en el libro de Hochschild sobre la estructura de los grupos de Lie.

a) Todo grupo complejo semisimple tiene un rep fiel (Thm 3.2 en el Cap. XVII)

b) Un grupo de Lie conectado con descomposición de Levi $G=RS$ ( $R$ el radical soluble, $S$ un factor semisimple de Levi) es lineal si tanto $R$ y $S$ son lineales (Thm 4.2 en el Cap. XVIII)

c) Un grupo de Lie soluble $G$ es lineal si su subgrupo conmutador $G'$ está cerrado, y $G'$ no tiene ningún subgrupo compacto no trivial (Thm 3.2 en el Cap. XVIII)

Ahora, dejemos que $G$ sea un grupo de Lie semisimple. Supongamos que $G$ está simplemente conectado. Entonces $G$ admite un cociente lineal mayor. En efecto, dejemos que $G_{\mathbb{C}}$ sea el grupo complejo simplemente conectado correspondiente al álgebra de Lie acomplejada de $G$ . Sea $L$ sea el núcleo del homomorfismo canónico $G\rightarrow G_{\mathbb{C}}$ Así que $L$ es un subgrupo de índice finito del centro de $G$ . Entonces $G/L$ es el mayor cociente lineal de $G$ en el sentido de que, si $H$ es localmente isomorfo a $G$ y $p:G\rightarrow H$ es un recubrimiento universal, el grupo $H$ s lineal si $p$ factores a través de $G/L$ .

Answer 2

De hecho, "la mayoría" de los grupos simples tienen tales coberturas: si y sólo si hay una raíz real larga. Hay una larga y rica historia de este tema, que se remonta al menos a un trabajo de Jacque Tits de 1967 (así como algunos trabajos más antiguos que sólo aparecieron en ruso). Para un tratamiento uniforme (sin casos), véase Cubiertas no lineales de grupos reales IMRN 2004, Math Reviews 2112326. Véanse también las referencias en el artículo y en la reseña de Mathscinet. Una buena referencia básica es Onischik y Vinberg, Lie Groups and Algebraic Groups; la respuesta puede leerse en la tabla 10 del capítulo de referencia.

Supongamos que $G(\mathbb C)$ es (conectado) simple, complejo, simplemente conectado, y $G(\mathbb R)$ es una forma real. Entonces $G(\mathbb R)$ tiene un grupo de cobertura sin representación dimensional finita fiel si y sólo si $G(\mathbb R)$ no está simplemente conectado. Dejemos que $K(\mathbb R)$ sea un subgrupo compacto máximo, con complejización $K(\mathbb C)$ . Entonces $G(\mathbb R), K(\mathbb R)$ y $K(\mathbb C)$ todos tienen el mismo grupo fundamental. Así que la pregunta es: ¿es $\pi_1(K(\mathbb C))=1$ ?

Ejemplos en los que $G(\mathbb R)$ está simplemente conectado son raros. Aquí está la lista completa: compacto, complejo, $SL(n,\mathbb H)$ , $Spin(n,1)$ $(n\ge 3)$ , $Sp(p,q)$ , $E_6(F_4)$ y $F_4(B_4)$ . (Por complejo me refiero a un grupo complejo, visto como un grupo de Lie real). Si G es simplemente lazo, entonces $\pi_1(G(\mathbb R))=1$ si y sólo si $G(\mathbb R)$ tiene sólo una clase de conjugación de subgrupos de Cartan. [Las formas reales de los grupos excepcionales pueden ser identificadas por sus subgrupos compactos máximos; $E_6(F_4)$ es la forma real de $E_6$ con un subgrupo compacto máximo de tipo $F_4$ , conocido en otra clasificación como $E_{6(-20)}$ ; $F_4(B_4)=F_{4(-20)}$ tiene un compacto máximo $B_4$ .]

Ejemplo: $G(\mathbb C)=SL(n,\mathbb C)$ , $G(\mathbb R)=SL(n,\mathbb R)$ , $K(\mathbb R)=SO(n,\mathbb R)$ , $K(\mathbb C)=SO(n,\mathbb C)$ . Si $n\ge 3$ entonces $SO(n,\mathbb C)$ tiene una cubierta doble $Spin(n,\mathbb C)$ y la cubierta universal de $SL(n,\mathbb R)$ es bifronte, con un subgrupo compacto máximo $Spin(n)$ . Si $n=2$ , $SO(2,\mathbb C)=\mathbb C^*$ , $\pi_1=\mathbb Z$ y la cubierta universal de $SL(2,\mathbb R)$ es infinito.

Ejemplo: $G(\mathbb C)=Spin(n+1,\mathbb C)$ , $G(\mathbb R)=Spin(n,1)$ ( $n\ge 3$ ), $K(\mathbb R)=Spin(n)$ está simplemente conectada, por lo que $Spin(n,1)$ está simplemente conectado. Por ejemplo $Spin(3,1)\simeq SL(2,\mathbb C)$ está simplemente conectado.

Answer 3

Mis conocimientos son fragmentarios, y esto es realmente un comentario más que una respuesta. Creo que lo siguiente es una buena forma de organizar el problema.

El problema es qué grupos de Lie conectados tienen representaciones fieles.

Dejemos que $g$ sea un álgebra de Lie y $G$ su grupo simplemente conectado. ¿Cuándo puede un determinado subgrupo discreto normal (necesariamente central) de $G$ se presentan como el núcleo de un homomorfismo continuo $G\to GL_n(\mathbb R)$ para algunos $n$ o, de forma equivalente, como el núcleo de un homomorfismo continuo $G\to GL_n(\mathbb C)$ para algunos $n$ .

Tales homomorfismos corresponden a homomorfismos del álgebra de Lie $g\to gl_n(\mathbb C)$ y, por tanto, a los homomorfismos del álgebra de Lie compleja-lineal $g_{\mathbb C}\to gl_n(\mathbb C)$ donde $g_{\mathbb C}=g\otimes \mathbb C$ y, por tanto, a los homomorfismos analíticos complejos $G_{\mathbb C}\to gl_n(\mathbb C)$ donde $G_{\mathbb C}$ es el grupo complejo simplemente conectado correspondiente.

El mapa canónico $G\to G_{\mathbb C}$ tiene un núcleo discreto. Puede ser no trivial, por ejemplo en el caso $g=sl_2(\mathbb R)$ . Así que para que una determinada discreta $D$ en el centro de $G$ para ser el núcleo de una representación es necesario que $D$ para contener esto.

Si se supera esta prueba, entonces surge la pregunta, para un grupo complejo simplemente conectado como $G_{\mathbb C}$ si un subgrupo discreto dado puede ser el núcleo de una representación analítica compleja. En el caso semisimple quizá la respuesta sea siempre afirmativa. No lo sé. En el caso nilpotente la respuesta es siempre sí para el subgrupo trivial. Pero es no para algunos subgrupos centrales discretos no triviales del grupo de Heisenberg, como hemos aprendido recientemente en otra pregunta de MO.