mínimo común múltiplo $\lim\sqrt[n]{[1,2,\dotsc,n]}=e$

Question

El mínimo común múltiplo de a$1,2,\dotsc,n$$[1,2,\dotsc,n]$, luego

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{[1,2,\dotsc,n]}=e$$

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podemos demostrar esto mediante el teorema de los números primos, pero no sé cómo empezar

Había aprendido que parece que podemos encontrar la propuesta de G. H. Hardy número del libro de la teoría, pero no pude encontrarlo.

Estoy muy agradecido por cualquier ayuda

Answer 1

Vamos a ver cómo el mínimo común múltiplo evoluciona.

Si $n > 1$ es una fuente primaria de energía, $n = p^k$ ($k \geqslant 1$), entonces no hay ningún número $< n$ es divisible por $p^k$, pero $p^{k-1} < n$, lo $[1,2,\dotsc,n-1] = p^{k-1}\cdot m$ donde $p\nmid m$. A continuación,$[1,2,\dotsc,n] = p^k\cdot m$, ya que por un lado, vemos que $p^k\cdot m$ es un múltiplo común de a $1,2,\dotsc,n$, y por otro lado, cada múltiplo común de a $1,2,\dotsc,n$ debe ser un múltiplo de $p^k$$m$.

Si $n > 1$ no es una fuente primaria de energía, es divisible por al menos dos de los números primos, decir $p$ es uno de ellos. Deje $k$ ser el exponente de $p$ en la factorización de $n$, e $m = n/p^k$. A continuación,$ 1 < p^k < n$$1 < m < n$, lo $p^k\mid [1,2,\dotsc,n-1]$$m\mid [1,2,\dotsc,n-1]$, y dado que los dos son coprime, también se $n = p^k\cdot m \mid [1,2,\dotsc,n-1]$, lo que significa que, a continuación,$[1,2,\dotsc,n] = [1,2,\dotsc,n-1]$.

Tomando logaritmos, vemos que para $n > 1$

$$\begin{align} \Lambda (n) &= \log [1,2,\dotsc,n] - \log [1,2,\dotsc,n-1]\\ &= \begin{cases} \log p &, n = p^k\\ \;\: 0 &, \text{otherwise}.\end{casos} \end{align}$$

$\Lambda$ es la de von Mangoldt función, y vemos que

$$\log [1,2,\dotsc,n] = \sum_{k\leqslant n} \Lambda(k) = \psi(n),$$

donde $\psi$ es conocida como la segunda función de Chebyshev.

Con estas observaciones, es evidente que

$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{[1,2,\dotsc,n]} = e\tag{1}$$

es equivalente a

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\psi(n)}{n} = 1.\tag{2}$$

Es bien conocida y fácil de ver que $(2)$ es equivalente al Teorema de los números Primos (sin límites de error)

$$\lim_{x\to\infty} \frac{\pi(x)\log x}{x} = 1.\tag{3}$$

Para ver la equivalencia, se introduce también la primera función de Chebyshev,

$$\vartheta(x) = \sum_{p\leqslant x} \log p,$$

donde la suma se extiende sobre los números primos que no exceda $x$. Tenemos

$$\vartheta(x) \leqslant \psi(x) = \sum_{n\leqslant x}\Lambda(n) = \sum_{p\leqslant x}\left\lfloor \frac{\log x}{\log p}\right\rfloor\log p \leqslant \sum_{p\leqslant x} \log x = \pi(x)\log x,$$

lo que muestra la existencia de los límites que supone

$$\lim_{x\to\infty} \frac{\vartheta(x)}{x} \leqslant \lim_{x\to\infty} \frac{\psi(x)}{x} \leqslant \lim_{x\to\infty} \frac{\pi(x)\log x}{x}.$$

Para $n \geqslant 3$, podemos dividir la suma de $y = \frac{x}{(\log x)^2}$ y obtener

$$\pi(x) \leqslant \pi(y) + \sum_{y < p \leqslant x} 1 \leqslant \pi(y) + \frac{1}{\log y}\sum_{y < p < x}\log p \leqslant y + \frac{\vartheta(x)}{\log y},$$

de dónde

$$\frac{\pi(x)\log x}{x} \leqslant \frac{y\log x}{x} + \frac{\log x}{\log y}\frac{\vartheta(x)}{x} = \frac{1}{\log x} + \frac{1}{1 - 2\frac{\log \log x}{\log x}}\frac{\vartheta(x)}{x}.$$

Desde $\frac{1}{\log x}\to 0$$\frac{\log\log x}{\log x} \to 0$$x\to \infty$, se deduce que, una vez más, suponiendo la existencia de los límites)

$$\lim_{x\to\infty} \frac{\pi(x)\log x}{x} \leqslant \lim_{x\to\infty} \frac{\vartheta(x)}{x},$$

y la prueba de la equivalencia de las $(1)$ $(3)$ es completa.

Answer 2

Parece que el poder de la $p$$[1,2,\dots,n]$$$\left\lfloor \frac{\log n}{\log p}\right\rfloor$$. Ao el de arriba es:

Inicio de la prueba: $$\prod_{p\leq n} p^{\frac{1}{n}\left\lfloor \frac{\log n}{\log p}\right\rfloor} = e^{\frac{1}{n}\sum_{p\leq n} \log p \left\lfloor \frac{\log n}{\log p}\right\rfloor}$$

Así que tenemos que demostrar que: $$\frac{1}{n}\sum_{p\leq n} \log p \left\lfloor \frac{\log n}{\log p}\right\rfloor\to 1$$

La más burda estimación de los términos es:

$$\log n - \log p < \log p \left\lfloor \frac{\log n}{\log p}\right\rfloor \leq \log n$$

Pero eso no parece ser lo suficientemente bueno. Se muestra que la limsup está a menos de $e$.