Dejemos que $f$ sea una función acotada y medible sobre $E$ . Demuestre que existen secuencias de funciones simples sobre $E$ , $\{\phi_n\}$ y $\{\psi_n\}$ , de tal manera que $\{\phi_n\}$ está aumentando y $\{\psi_n\}$ es decreciente y cada una de estas secuencias converge uniformemente en $E$ .
Dejemos que $f:E \rightarrow \mathbb{R}$ ser medible. Existen funciones simples medibles $\phi_n$ en $E$ tal que $$(a) \ \phi_1 \leq \phi_2 \leq \cdots \leq f.$$ $$(b) \ \forall x\in E, \text{ we have that } \phi_n(x) \rightarrow f(x), \text{ as }n \rightarrow \infty$$ Prueba:
Obsérvese que para cada número entero positivo $n$ y cada número real $t$ corresponde a un único número entero $k = k_n(t)$ que satisface $k2^{-n} \leq t < (k+1)2^{-n}$ . Definir: $$ s_n(t) = \left\{\begin{matrix} k_n(t)2^{-n} & 0 \leq t < n\\ n & n \leq t \leq \infty \end{matrix}\right. $$ Tenga en cuenta que cada $s_n$ es una función borel sobre $[0,\infty]$ . En otras palabras, para cualquier conjunto abierto $V$ , $s_n^{-1}(V)$ es un conjunto de borlas. Ahora, $$k2^{-n} \leq t < (k+1)2^{-n} \Rightarrow t - 2^{-n} < s_n(t) \leq t \text{ if } 0 \leq t\leq n,$$ así, $0 \leq s_1 \leq s_2 \leq \cdots \leq t,$ y $s_n(t) \rightarrow t$ como $n \rightarrow \infty,$ por cada $t\in [0,\infty]$ . De ello se deduce que la función $\phi_n = s_n\circ f$ satisfacen (a) y (b); ya que $f$ es medible y $s_n$ es una función borel, entonces $\phi_n$ también es medible. Para obtener una función decreciente, dejemos que $\psi_n = -s_n(-f)$ Por lo tanto $\phi_n$ y $\psi_n$ son funciones de pasos, $ \phi_n \leq f\leq \psi_n$ y $\psi_n-\phi_n \leq 2^{-n}$ para cada número entero $n$ .
Mi pregunta es ¿cómo puedo obtener una convergencia uniforme? Sé que por lo que probé, no necesitaba asumir que $f$ está acotado.
El siguiente teorema podría ser útil, a saber, el Teorema de Dini (obtenido de wikipedia).
Si $Y$ es un espacio topológico compacto, y $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ es una secuencia monótonamente creciente (es decir $f_n(x) \leq f_{n+1}(x)$ para todos $n$ y $x$ ) de funciones continuas de valor real sobre $X$ que converge puntualmente a una función continua $f$ entonces la convergencia es uniforme. La misma conclusión es válida si $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ es monótonamente decreciente en lugar de creciente.
¿Hay alguna manera de utilizar este teorema bajo el supuesto de que $f$ está acotado para obtener una convergencia uniforme?
