Expectativa de mínimo de variables aleatorias con distribución normal

Question

Dejemos que $(X,Y)$ se distribuya normalmente y sea tal que

$\;\;\;\;\mathrm{Cov}(X,Y)=\varrho$ y $\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(Y)=1$ .

Para lo cual $\varrho$ ¿se mantiene la siguiente igualdad?

$\;\;\;\;\min (E(X),E(Y)) = E(\min(X,Y))$

Para $\varrho=1$ ? Para $\varrho=0$ ? Para $\varrho=-1$ ? Para cualquier otro $\varrho$ ?

Answer 1

Puede calcular $E(X)$ y $E(Y)$ fijando el vector medio de $(X,Y)$ , $\mu$ .

Tenga en cuenta que si $Z=\min(X,Y)$ entonces $P(Z>z) = P(\min(X,Y)>z) = P(X >z\text{ and }Y>z) = \int_{x,y > z} \frac{1}{2 \pi \sqrt{|K|}} e^{- ( (x;y) - \mu)^T K^{-1} ( (x;y) - \mu)}$ donde $K=[var(X),cov(X,Y);cov(X,Y), var(Y)]$ . Se puede hacer una descomposición de Cholesky en $K$ para conseguir un buen cambio de coordenadas que decorre $X$ y $Y$ para evaluar la integral obteniendo la distribución del mínimo. A continuación, encontrar su media, y comparar.

Answer 2

Supongamos sin pérdida de generalidad que $E(X)\leqslant E(Y)$ . Entonces, $X\geqslant\min(X,Y)$ casi con seguridad, de ahí la condición $E(X)=E(\min(X,Y))$ implica que $X=\min(X,Y)$ casi seguro, es decir, que $X\leqslant Y$ casi seguro.

Toda distribución normal bidimensional es simétrica respecto a su media $(\mu_X,\mu_Y)$ , tanto si la covarianza es invertible como si no, por lo que $P(X\gt Y)=0$ implica $P(X-2\mu_X\lt Y-2\mu_Y)=0$ . Esto demuestra que $X\leqslant Y\leqslant X+c$ casi con toda seguridad, para un número finito de $c$ . Esto sólo puede ocurrir si el soporte de la distribución de $(X,Y)$ es un punto o una línea $\{(x,y)\mid y=x+c'\}$ para algunos $c'$ en $[0,c]$ lo que significa que $\varrho=1$ .

Por el contrario, cuando $\varrho=1$ , $Y=X+\mu_Y-\mu_X$ por lo que el resultado se mantiene.

Answer 3

Introduzcamos la variable aleatoria $T=X-Y$ para cualquier distribución bidimensional: $$V(X-Y)=V(X)+V(Y)-2\cdot COV(X,Y)$$ Recordando que $V(X)=V(Y)=1$ obtenemos: $$V(T)=V(X-Y)=2\cdot(1-\rho)$$ Es obvio que si $\rho=1$ entonces $V(T)=0$ lo que significa que $T$ ya no es una variable aleatoria, sino un valor determinista igual a $E(T)$ . Resulta incluso si la desigualdad de Bienaymé-Chebyshev, descrita ici y ici y es la verdad para cualquier distribución con variable aleatoria de valor real (no hay ninguna función definitoria de sentido $\min$ o $\max$ para los números que no son reales). Sea $E(T)=C$ En este caso, tenemos que encontrar un $C$ eso: $$\min(E(X),E(X-C))=E(\min(X,X-C))$$ $E(X-C)=E(X)-C$ para cualquier distribución. Si queremos encontrar lo que es mayor $X$ o $X-C$ (conocemos el valor de $C$ es nuestro parámetro), entonces no es necesario conocer el valor de $X$ . Por lo tanto, después de una breve consideración es fácil de comprobar que: $\min(E(X),E(X-C))$ es igual a $E(\min(X,X-C))$ para cualquier distribución con variable aleatoria de valor real $X$ y cualquier parámetro real $C$ . Aceptando $\rho=1$ encontramos la solución. Consideremos otros valores de $\rho$ , $-1\leq\rho<1$ ( * ). Sea $f(x,y)$ sea la función de densidad de probabilidad de las variables aleatorias $X$ , $Y$ y $g(t,x)$ función de densidad de probabilidad de las variables $T$ , $X$ . $$E(\min(X,Y))=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{y\leq x}y f(x,y)dydx+\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{y>x}x f(x,y)dydx$$ $$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\int _0^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }(x-t) g(t,x)dxdt+\int _{-\infty }^0\int _{-\infty }^{+\infty }x g(t,x)dxdt$$ $$=E(X)-\int_0^{+\infty } t f_T(t) \, dt\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ Según definición $f_T(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t,x)dx$ es la función de densidad de probabilidad de la distribución normal ( $T=X+(-1)\cdot Y$ ) . Obsérvese que $\int_0^{+\infty } t f_T(t) \, dt\neq 0$ , ( $\rho\neq 1\ \rightarrow V(T)\neq 0$ ), así que debe serlo: $\min(E(X),E(Y))=E(Y)$ lo que implica $$E(T)=\int_0^{+\infty } t f_T(t) \, dt$$ y es imposible cuando $V(T)\neq 0$ .