Encontrar el límite $\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin \theta}{3\theta + \tan \theta}$

Question

Problema dado $$\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin \theta}{3\theta + \tan \theta}$$

Tengo que $$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta \cos \theta}{3\theta \cos \theta + \sin \theta}$$

Ahora estoy perdido. ¿Algún consejo para ser más eficiente?

Answer 1

Sugerencia : dividir ambos lados para $\theta $ y observe que $$\lim _{ \theta \rightarrow 0 }{ \frac { \sin { \theta } }{ \theta } } =1\\ \lim _{ \theta \rightarrow 0 }{ \frac { \tan { \theta } }{ \theta } } =1\\ $$

Answer 2

Una pista:

Puedes escribirlo como: $$ \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta}{\sin \theta\left(\frac{3 \theta}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta} \right)}= \lim_{\theta \to 0}\frac{1}{\frac{3 \theta}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta} } $$

¿puede hacer de estos?

Answer 3

Dado que ambos $\sin\theta$ y $3\theta + \tan \theta$ tienden a $0$ como $\theta\to0$ utilizamos la regla de L'Hôptial

$$\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin \theta}{3\theta + \tan \theta}=\lim_{\theta\to 0} \frac{\cos \theta}{3 + \sec^2 \theta} = \frac{1}{3+1} = \frac14.$$