Sea P un punto dentro del triángulo ABC. Que la semirrecta AP se cruza con BC en A', BP se cruza con AC en B', y CP se cruza con AB en C'.
Demuestra que si AP/PA'=BP/PB'=CP/PC' entonces P es el centroide de ABC.
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mxian
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Utilizamos coordenadas baricéntricas. Sea $P=(x,y,z)$ . Entonces $$ \frac{AP}{PA'}=\frac{y+z}{x}$$ y permutaciones cíclicas por lo que $$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}.$$ Multiplicando por $xyz$ da $$y^2z+yz^2=xz^2+x^2z=x^2y+xy^2$$ La primera ecuación equivale a $$z(y-x)(x+y+z)=0$$ y como $P$ está dentro del triángulo tenemos $x,y,z>0$ así que, necesariamente, $x=y$ . Del mismo modo, podemos obtener $y=z$ de otro par de ecuaciones, por lo que $x=y=z$ y $P$ es el centroide.
Otra solución utilizando áreas: La condición es equivalente a $$\frac{AA'}{PA'}=\frac{BB'}{PB'}=\frac{CC'}{PC'}$$ Y por lo tanto, esto da las relaciones de área $$\frac{[BCP]}{[BCA]}=\frac{[CAP]}{[CAB]}=\frac{[ABP]}{[ABC]}.$$ Sin embargo, por otro lado, $[BCP]+[CAP]+[ABP]=[ABC]$ y por lo tanto cada una de estas relaciones debe ser $1/3$ . A su vez, cada una de las relaciones de longitudes anteriores es igual a $3$ y por lo tanto $P$ divide cada uno de $AA', BB'$ y $CC'$ en la proporción $2:1$ . Así, $P$ es el centroide.
[Para ver por qué $P$ debe ser ahora el centroide, puede volver a utilizar áreas. Como $AP/A'P=2$ tenemos $[BAP]/[A'BP]=2$ . Por otra parte, ya hemos establecido $[BAP]/[ABC]=1/3$ y así $[A'BP]=1/6[ABC]$ . De la misma manera, $[CA'P]=1/6[ABC]$ y por lo tanto $[A'BP]=[CA'P]$ , lo que significa que $CA'=A'B$ y $A'$ es el punto medio de $BC$ . De la misma manera, $B'$ y $C'$ son los puntos medios de los otros dos lados].
