Serie $\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{\Gamma(b+nc)}$

Question

$a,b,c$ sean números reales positivos, y $\Gamma$ es la función Gamma, encontrar

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{\Gamma(b+nc)} $$

Answer 1

Proporcionar una solución en el $c=1$ caso. Hágame saber en los comentarios si $a,b,c$ son números naturales, en ese caso se puede resolver sin ninguna suposición de este tipo, pero incluso ahí la idea subyacente no cambiará. $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{\Gamma(b+n)} $$ Ahora como $$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$$ Esto nos da en la aplicación repetida $$\Gamma(b+n)=\prod_{k=0}^{n-1 }{(b+k)} \Gamma(b)$$ Por lo tanto, nuestra suma se convierte en $$\frac{1}{\Gamma(b)} \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{a^n}{\prod_{k=0}^{n-1 }{(b+k)}}}$$

¿Puedes seguir desde aquí; la suma te resulta familiar ahora?