Si $|f|$ es continua de Hölder, ¿qué pasa con $f$ ?

Question

Supongamos que $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función continua tal que $|f|$ es continua de Hölder con exponente $0<\alpha\leq1$ . ¿Se deduce que $f$ ¿es también continua de Hölder con el mismo exponente?

Hace unos días se me ocurrió esta afirmación y me costó demostrarla o generar un contraejemplo. Si no estipulamos que $f$ es en sí mismo continuo, entonces el resultado es falso (toma $f(0)=1$ y $f(x)=-1$ en caso contrario). Además, la inversa se deduce de la desigualdad del triángulo, ya que si $f$ es continua de Hölder, entonces $$ \big||f(x)|-|f(y)|\big| \leq |f(x)-f(y)| \leq C|x-y|^\alpha. $$

Answer 1

Sí, esto es correcto. Dejemos que $x,y\in\mathbb R$ . Si $f(x)$ y $f(y)$ tienen el mismo signo, entonces $$|f(x)-f(y)|=\big||f(x)|-|f(y)|\big|\leq C|x-y|^{\alpha}.$$ Ahora, supongamos que $f(x)$ y $f(y)$ tienen signos diferentes. Entonces, a partir de la continuidad de $f$ existe $z\in(x,y)$ tal que $f(z)=0$ . Entonces, $$|f(x)-f(y)|\leq|f(x)|+|f(y)|=\big||f(x)|-|f(z)|\big|+\big||f(z)|-|f(y)|\big|\leq$$$$ C|x-z|^{\alpha}+C|y-z|^{\alpha}\leq C|x-y|^{\alpha}+C|x-y|^{\alpha}=2C|x-y|^{\alpha}. $$ So, if $ x,y\nmathbb R $, you have that $ |f(x)-f(y)|leq 2C|x-y|^{{alpha} $, so $ f $ is Hölder continuous with exponent $ \N - Alpha$.