Acumulación de subvariedades algebraicas: Cerca de una subvariedad hay muchas otras (?)

Question

Trabajemos sobre el campo $\mathbb{C}$ de los números complejos, y que $X\subset \mathbb{P}^n$ sea una variedad proyectiva. Sea $\tilde{X}\subset \mathbb{P}^n$ sea cualquier pequeña vecindad abierta de $X$ en la topología compleja.

Pregunta: ¿Existen muchas variedades algebraicas $\subset \tilde{X}$ de dimensión igual a la dimensión de $X$ ?

Por supuesto, $X$ se encuentra allí, y se puede aplicar algún automorfismo de $\mathbb{P}^n$ cerca de la identidad para obtener algunos ejemplos más. Me interesaría cualquier construcción de más subvariedades en $\tilde{X}$ o ejemplos que muestren que, en general, pueden no existir. Nótese que se permite que el grado de las subvariedades sea arbitrariamente grande, y que no quiero considerar sólo deformaciones de $X$ (que puede ser rígido).

Answer 1

La respuesta es sí (como en el caso de la respuesta de Sasha utilizamos cubiertas ramificadas)

Prueba. Dejemos que $X$ sea cualquier variedad en $\mathbb CP^n$ . Tome una sección $s_m$ de $O(m)$ en $X$ tal que $s_m$ no es igual a $m$ -ésima potencia del tensor $s^{\otimes m}$ de cualquier sección $s$ de $O(1)$ restringido en $X$ . Ahora, dejemos que $s_m^{\frac{1}{m}}$ sea la sección múltiple de $O(1)$ en $X$ . Esta multisección define una subvariedad $X_m$ en el espacio total de $O(1)$ en $X$ que es la portada de $X$ de grado $m$ .

Por último, obsérvese que existe una familia de mapas del espacio total de $O(1)$ en $X$ a $\mathbb CP^n$ que envía la sección cero de $O(1)$ en $X$ a $X$ . La imagen de dicho mapa en $\mathbb CP^n$ es simplemente la unión de todas las líneas de $\mathbb CP^n$ que unen un punto fijo $p$ con todos los puntos de $X$ el punto $p$ no pertenece a la imagen. Entonces la imagen de $X_m$ en $\mathbb CP^n$ es la variedad deseada. FIN.

Utilizamos aquí el hecho de que $O(1)$ en $\mathbb CP^n$ puede ser incrustado en $T\mathbb CP^n$ como una sub-hoja (de varias maneras).

Answer 2

Aparte de las deformaciones de $X$ puede considerar las deformaciones de cualquier subesquema apoyado en $X$ (es decir, de cualquier subesquema $Y$ tal que $Y_{red} = X$ ). Otra opción es considerar las deformaciones de cualquier morfismo $f:Y \to X \to {\mathbb P}^n$ . Ambas formas le proporcionarán deformaciones de mayor grado. Tenga en cuenta que el segundo enfoque es muy fructífero en el procedimiento de doblar y romper.

EDIT: Dejemos por ejemplo un $X$ sea una curva racional. Entonces el espacio tangente a las deformaciones de la incrustación $X \to {\mathbb P}^n$ es $H^0(X,(T_{{\mathbb P}^n})_{|X})$ que es un haz vectorial generado globalmente de rango $n$ y el grado $(n+1)d$ , donde $d$ es el grado de $X$ . Por lo tanto, la dimensión del espacio tangente es $n + (n+1)d$ . Por otro lado, si $Y$ es otra curva racional y $f:Y \to X$ es un $r$ -entonces el mismo cálculo muestra que el espacio tangente a las deformaciones de $Y \to {\mathbb P}^n$ tiene dimensión $n + (n+1)dr$ ¡que es mucho más grande!