Dejemos que $f:A\to\mathbb R$ sea una función continua. Si los números $2$ y $3$ son elementos de la imagen $f(A)$ entonces el intervalo $[2,3]$ es un subconjunto de $f(A)$ . Intuitivamente creo que es cierto, y no he podido encontrar ningún contraejemplo.
Tengo una demostración utilizando el teorema del valor intermedio pero no sé si es correcta. Se supone que $f(a)=2$ y $f(b)=3$ y como $f$ es continua, para cualquier número $d$ entre $f(a)$ y $f(b)$ que es el intervalo $(2,3)$ existe $c\in [a,b]$ tal que $f(c)=d$ . Así que $[2,3]$ es un subconjunto de $f(A)$ .
