Cómo calcular la probabilidad de que otro jugador tenga una carta

Question

En una partida de póquer, ¿cómo calcularíamos la probabilidad de que otro jugador tenga al menos una carta determinada?

Digamos que hay otros cinco jugadores, hay cuatro cartas en el centro de la mesa y yo tengo dos cartas en la mano. Necesito encontrar la probabilidad de que alguien tenga al menos una reina dado que no hay una reina en la mesa y no hay una reina en mi mano.

La forma en que lo pensé: Hay 46 cartas desconocidas para mí (52 - 2 en mi mano - 4 repartidas en la mesa). De estas 46 cartas, hay 4 reinas. Lo pensé como una distribución geométrica. Un éxito sería que una persona tuviera una reina.

Para obtener la probabilidad de que después de 10 pruebas nadie tenga una reina, haría (1 - 4/46)^10. Luego restaría eso de 1 para obtener la probabilidad de que haya una reina antes del décimo ensayo.

¿Es ésta la forma correcta de enfocar este problema? Si no es así, ¿cómo lo harías tú?

EDITAR: ¿Podría ser 1 - p(fracaso), o 1 - (42/46 * 41/45 * 40/44 * 39/43 * 38/42 * 37/41 * 36/40 * 35/39 * 34/38 * 33/37) = 63.9%

Answer 1

En una partida de póquer, ¿cómo calcularíamos la probabilidad de que otro jugador tenga al menos una carta determinada?

Necesitamos algunas suposiciones (por ejemplo, que no hayamos visto apuestas o jugadas que transmitan información adicional).

Digamos que hay otros cinco jugadores, hay cuatro cartas en el centro de la mesa y yo tengo dos cartas en la mano.

Si las cartas del centro están boca arriba, entonces son las únicas seis cartas de las que se conoce el valor (esas 4 más las dos de la mano). Así que hay 46 cartas que podrían estar en la mano del jugador, 4 de las cuales podrían ser Reinas.

Cuando ves una carta que no puede estar en la mano del jugador que te preocupa que pueda tener una Reina, esas cartas se eliminan del conjunto de cartas que el jugador puede tener en su mano. Por lo tanto, estamos robando sin reemplazo - esas cartas que vemos se eliminan de la consideración posterior.

La probabilidad de que un jugador concreto (Ángela, por ejemplo) tenga al menos una reina es 1 menos la probabilidad de que Ángela tenga cero reinas.

P(Ángela no tiene reinas) = 42/46 x 41/45

P(Angela tiene 1 o más reinas) = 1 - 42/46 x 41/45

Del mismo modo, la probabilidad de que al menos un jugador tenga más de cero reinas se calcula a partir de la probabilidad de que ningún jugador tenga más de 0 reinas:

P(4 oponentes no tienen Reinas entre ellos) = 42/46 x 41/45 x 40/44 x ... x 33/37

P(Al menos un jugador tiene 1 o más reinas) = 1 - 42/46 x 41/45 x 40/44 x ... x 33/37

que creo que es su solución enmendada.

[Hay una abreviatura para escribir estos productos (pero en realidad no cambia nada). Además, la distribución que estamos tratando es un caso simple de la hipergeométrica negativa (cuidado con la página de wikipedia sobre ella, la última vez que la vi estaba totalmente equivocada); sin embargo, esa información no es necesaria para resolver estos problemas].