¿Cuál es la definición de ecuación lineal?

Question

Todos los libros que he consultado dicen que la ecuación lineal es la ecuación que tiene un desde:

$$a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n=b$$

Pero, ¿es ésta realmente la definición de una ecuación lineal? Pensaba que la definición debería ser la forma de un mapa lineal. Como,

$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ $$f(ax)=af(x)$$

¿Cuál es la definición de una ecuación lineal?

Answer 1

El segundo define un función lineal no es una ecuación lineal. Para una matriz $A$ la función $f(x)=Ax$ es lineal. Para $A=(a_1,\ldots ,a_n)$ y $x=(x_1,\ldots,x_n)^T$ , $Ax=a_1x_1+\cdots +a_nx_n$ .

Answer 2

Aquí hay dos conceptos diferentes.

$1)$ Una ecuación lineal como

$$ a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n=b$$ donde las variables aparecen en primer grado.

$2)$ Una transformación lineal que satisface

$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$

$$f(ax)=af(x)$$

Por ejemplo $$2x+3y=10$$ es una ecuación lineal.

Por otro lado $$f(x) = 4x $$ es una función lineal o una transformación lineal.