Recordemos la definición de la homología de Heegaard Floer: $\Sigma_g$ es una superficie cerrada, y $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_g\}$ y $\{\beta_1,\ldots,\beta_g\}$ son conjuntos de círculos de unión. Entonces la homología Floer de Heegaard es (más o menos) la homología Floer de intersección lagrangiana de $\mathbb T_\alpha=\prod_{i=1}^g\alpha_i$ y $\mathbb T_\beta=\prod_{i=1}^g\beta_i$ en $\operatorname{Sym}^g\Sigma_g$ .
Ahora bien, si pensamos en $\Sigma_g$ como una curva compleja, entonces existe un mapa biracional $\phi:\operatorname{Sym}^g\Sigma_g\to\operatorname{Pic}^g\Sigma_g$ .
¿Qué ocurre si en su lugar consideramos la homología de Floer de intersección lagrangiana de $\phi(\mathbb T_\alpha)$ y $\phi(\mathbb T_\beta)$ dentro de $\operatorname{Pic}^g\Sigma_g$ ? ¿Los grupos resultantes son trivialmente iguales, trivialmente diferentes, o al menos interesantes? (si no son iguales, entonces supongo que no hay ninguna buena razón para que sean siquiera invariantes del tríptico subyacente).
Hay al menos una razón concreta (y una razón filosófica) por la que uno podría probar esta definición en lugar de la original:
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No hay esferas holomorfas en $\operatorname{Pic}^g\Sigma_g$ (porque es una variedad abeliana; de hecho el mapa $\phi$ es exactamente la contratación de todos los incrustados $\mathbb P^n$ en el producto simétrico). Esto significa que no tenemos que preocuparnos por algunos tipos de burbujas.
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$\operatorname{Pic}^g\Sigma_g$ es un toro complejo; en particular, su topología es muy concreta y fácil de entender. Además, es quizá más natural desde el punto de vista algebrogeométrico que el producto simétrico.
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Podría imaginar que tal vez haya alguna declaración general por la que se derriben todas las $\mathbb P^n$ 's siempre hace algo comprensible (quizás nada) a la homología de Floer de la intersección lagrangiana.
