$$ \int_{-\infty}^{\infty} \, \frac{\sin(k)}{k}e^{ikx} dk$$
No estoy muy seguro de cómo hacer esto. Creo que hay un poste en $z=0$ pero entonces el residuo también es $ =0 $ así que estoy un poco perdido :/
Se agradece cualquier ayuda.
Respuesta
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Roger Hoover
Puntos
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La contribución dada por la parte imaginaria de $e^{ikx}$ desaparece por simetría y
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(k)\cos(kx)}{k}\,dk = \frac{1}{2}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin((1+x)k)}{k}\,dk+\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin((1-x)k)}{k}\,dk\right]$$ es igual a $$ \frac{\pi}{2}\left[\text{sign}(1+x)+\text{sign}(1-x)\right]=\left\{\begin{array}{rcl}0 & \text{if} & |x|>1\\ \frac{\pi}{2} & \text{if} & |x|=1 \\ \pi & \text{if} & |x|<1\end{array}\right. $$ por el conocido lema
$$ \forall x\in\mathbb{R},\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(kx)}{k}\,dk = \pi\,\text{sign}(x).$$
