Demostrar que $\triangle ABC=\left(\triangle DEF \cdot \triangle XYZ\right)^{1/2}$

Question

En $\triangle ABC$ , $D$ , $E$ , $F$ son puntos en los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ . También, $A$ , $B$ , $C$ son puntos en $YZ$ , $ZX$ , $XY$ de $\triangle XYZ$ para lo cual $EF \parallel YZ$ , $FD \parallel ZX$ , $DE \parallel XY$ . Demostrar que el área de $$\triangle ABC=\left(\triangle DEF \cdot \triangle XYZ\right)^{1/2}$$

Realmente no tengo ni idea de cómo enfocar esta cuestión. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Lo único que sé es $\triangle DEF \sim \triangle XYZ$ .

No conozco la homotecia y sólo se espera que resuelva este problema utilizando técnicas elementales como la semejanza, el teorema de Menelao, el teorema de Ceva, etc. También se permite la trigonometría.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $[XYZ]$ (el área de $\triangle XYZ$ ) es $1$ y la relación de similitud entre $\triangle DEF$ y $\triangle XYZ$ es $r<1$ (para que $[DEF] = r^2$ ).

Dejemos que $a, b, c$ sean las distancias entre $EF$ y $YZ$ entre $ZX$ y $FD$ y entre $XY$ y $DE$ respectivamente.

Entonces tenemos $[AEF] = \frac a2 \cdot EF$ , $[BFD] = \frac b2 \cdot FD$ y $[CDE] = \frac c2 \cdot DE$ por la fórmula del área del triángulo; sumándolos, tenemos $$[ABC] - [DEF] = \frac a2 \cdot EF + \frac b2 \cdot FD + \frac c2 \cdot DE.$$

Por otro lado, tenemos $[AEY] = \frac a2 \cdot AY$ , $[AFZ] = \frac a2 \cdot AZ$ , $[BFZ] = \frac b2 \cdot BZ$ , $[BDX] = \frac b2 \cdot BX$ , $[CDX] = \frac c2 \cdot CX$ y $[CEY] = \frac c2 \cdot CY$ sumándolos y observando que, por ejemplo $YZ = AY + AZ$ tenemos $$[XYZ] - [ABC] = \frac a2 \cdot YZ + \frac b2 \cdot ZX + \frac c2 \cdot XY.$$

Porque $r$ es la relación de similitud entre $\triangle DEF$ y $\triangle XYZ$ tenemos $EF = r \cdot YZ$ , $FD = r \cdot ZX$ y $DE = r \cdot XY$ que nos dice que
$$ [ABC] - [DEF] = r([XYZ] - [ABC]). $$ Recordemos que asumimos que $[XYZ] = 1$ y $[DEF] = r^2$ Así que ahora tenemos $[ABC] - r^2 = r(1 - [ABC])$ . Resolviendo, obtenemos $[ABC] = r$ Así que $[ABC] = \sqrt{r^2 \cdot 1} = \sqrt{[DEF] \cdot [XYZ]}$ .

Answer 2

Di, $\triangle DEF = p$ , entonces el triángulo $\triangle XYZ = p(t^2)$ donde t es la relación de los lados de $\triangle XYZ$ a $\triangle ABC$ .

$\triangle XYZ = [XDEY] + [YEFZ] + [XDFZ] + \triangle DEF$ (3 paralelogramos + $\triangle DEF$ ).

Di, $EF = a, FD = b, DE = c$

$\triangle XYZ = \dfrac{1}{2}[c(1+t)h_3 + a(1+t)h_1 + b(1+t)h_2] + \triangle DEF$ $p(t^2) = \dfrac{1}{2}[c(1+t)h_3 + a(1+t)h_1 + b(1+t)h_2] + p$

$2p(t^2) = c(1+t)h_3 + a(1+t)h_1 + b(1+t)h_2 + 2p$ ...(i)

Ahora, $\triangle ABC = \triangle CDE + \triangle AEF + \triangle BDF + \triangle DEF$

$\triangle ABC = \dfrac{1}{2}(c.h_3 + a.h_2 + b.h_1) + p$ ...(ii)

De (i) y (ii),

$p(t^2) = (\triangle ABC - p)(1+t) + p$

$p(t-1) = \triangle ABC - p$

$\triangle ABC = pt = \sqrt{p.pt^2} = \sqrt{\triangle DEF.\triangle XYZ}$