¿Cómo encontrar los valores extremos de la siguiente función?

Question

Función $$ f(x,y) = 3x^2 + 3xy + y^2 + y^3 $$

Mi solución

$$f_x = 6x + 5y + 3y^2 = 0$$

$$f_y = 3x + 2y +3y^2 = 0$$

Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar y=-x, sustituir de nuevo en $f_x$ y $f_y$ para encontrar (x,y) = (0,0) o/y (-1/3 , 1/3).

$$D = f_{xx} f_{yy} - {f_{xy}}^2$$

Esto da que (0,0) es el mínimo local y (-1/3 , 1/3) es un punto de silla. PERO, la solución real a esta pregunta dice que (0,0) es el único punto extremo, así que ¿qué pasó con (-1/3 , 1/3)? ¡Gracias por la ayuda! :)

Answer 1

Tenemos

$$f(x, y) = 3x^2 + 3x y + y^2 + y^3$$

Encontrar parciales

$$\begin{align} f_x &= 6 x + 3 y \\ f_y &= 3 x + 2 y + 3 y^2 \end{align}$$

Al ponerlos a cero y resolver simultáneamente se obtienen los puntos críticos

$$(x, y) = (0, 0), \left(\dfrac{1}{12}, -\dfrac{1}{6} \right)$$

Utilizando el Prueba de la segunda derivada , $D=f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)\big(f_{xy}(x_0,y_0)\big)^2$

• $(0, 0)$ es un mínimo local
• $\left(\dfrac{1}{12}, -\dfrac{1}{6} \right)$ es un punto de silla de montar

Answer 2

Para esta función concreta basta con el análisis de una variable. Tenemos $$f(x,y)=3\left (x+{y\over 2}\right )^2++{y^2\over 4}+y^3$$ La función $$g(t,y)=3t^2+{y^2\over 4}+y^3$$ toma los mismos valores que $f(x,y).$ Los valores extremos de $g(t,y)$ puede determinarse por separado para $t^2$ y para $y^2+4y^3.$ La función $y^2+4y^3$ admite un mínimo local en $y=0$ y un máximo local en $y=-{1\over 6}.$ Por otro lado, la función $t^2$ admite un mínimo en $t=0.$ Por lo tanto, la función $g(t,y)$ tiene un mínimo local en $(0,0)$ y un punto de silla en $(0,-{1\over 6}).$ Como $t=x+{y\over 2},$ la función $f$ admite un mínimo local en $(0,0)$ y un punto de silla en $({1\over 12},-{1\over 6}).$