Estimación de $\sum_{p^k \leq x, k \geq 2} \log p$

Question

Estoy tratando de estimar $\sum_{p^k \leq x, k \geq 2} \log p$ donde $x$ es un número positivo, $k$ es un número natural mayor que $1$ y $p$ es un primo. ¿Podría ser cierto que $\sum_{p^k \leq x, k \geq 2} \log p \ll \sqrt x$ ?. Creo que puedo usar la información de que el número de primos hasta $\sqrt x$ es aproximadamente $ \frac{\sqrt x}{ \log \sqrt x}$ y el valor máximo de $\log p$ es $\log \sqrt x$ . Pero no pude proceder ya que el valor de $k$ para cada primo también importa. ¡Agradezco cualquier ayuda!

Answer 1

Tenemos \begin{align} \sum_{p^k\le x,k\ge 2} \log p & = \sum_{p\le \sqrt{x}}\sum_{k\le \log_p x}\log p\\ &=\sum_{p\le \sqrt{x}}\log p\, \lfloor\log_p x\rfloor\\ &\le \sum_{p\le \sqrt{x}}\log p\, \log_p x\\ &=\sum_{p\le\sqrt{x}}\log x = \log x\ \pi(\sqrt{x})\\ &\ll \log x\ \frac{\sqrt{x}}{\log\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} \ll \sqrt x. \end{align}