Cómo resolver $x$ en una ecuación exponencial particular

Question

Estoy tratando de resolver para $x$ en

$x^2=(16)^{2x}.$

Así que empecé de esta manera: Tomé la raíz cuadrada de ambos lados y obtuve

$x=16^x$

Luego tomé el logaritmo de ambos lados y obtuve $\log x=x \log 16.$

Aquí es donde me quedé atascado.

Answer 1

Al contrario que otras respuestas,

$$x=-0.36424988978364795656$$ es la solución real. (Se puede expresar en términos de la solución de Lambert $W$ de la función; en caso contrario, no hay expresión analítica).

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%3D256%5Ex

Answer 2

Tal y como has indicado en tu pregunta, el primer paso es llevar ambos lados a una raíz cuadrada (sabiendo que $x > 0$ (no se perderán raíces haciendo esto) y luego tomar el logaritmo natural de ambos lados:

$$ \sqrt {x^2} = \sqrt {16^{2x}}$$ $$ x = 16^x $$ $$ \ln x = x \ln 16 $$ $$ \frac {\ln x}{\ln 16} = x $$

Ahora, sabemos que $x$ no puede estar entre 0 y 1, ya que $-\infty < \frac {\ln x}{\ln 16} < 0$ et $0 < x < 1$ . Así que, $x > 1$ .

Después de este punto, utilizaremos algunos cálculos para averiguar si las líneas $y=x$ et $y=\frac {\ln x}{\ln 16}$ incluso se cruzan. Si sabemos que cuando $x=1$ , $\frac {\ln x}{\ln 16} = 0$ podemos demostrar que no se cruzan encontrando sus dos derivadas.

$$ \frac {d} {dx} [x] = 1$$ $$ \frac {d} {dx} [\frac {\ln x}{\ln 16}] = \frac {1}{x\ln16}<1$$

Porque $x\ln16$ siempre será mayor que 1, su recíproco siempre será cero para $x>1$ . Por lo tanto, podemos concluir que la segunda curva crece a un ritmo menor que la primera para cada valor de x cuando $x>1$ . Como conocemos los valores de la primera ecuación en $x=1$ es 1 mientras que el otro es 0, podemos decir que estos gráficos no se cruzan . Por lo tanto, no hay raíces.

Answer 3

Si se grafican ambos lados de esta ecuación se obtiene que el número real, $x$ es de aproximadamente -0,3642. Aquí hay un gráfico de Desmos que muestra esto: https://www.desmos.com/calculator/lvztuajkgk

Esta ecuación no tiene una solución elemental (es decir, una solución que pueda expresarse en términos de polinomios, funciones de potencia, funciones exponenciales y logaritmos).

Answer 4

Utilizando $x=16^x$

$x^{\frac{1}{x}}=16$

El punto ( $e$ , ~1,4) es el "vértice" si se quiere, por lo que la función nunca superará $e^{\frac{1}{e}}$ así $x=16^x$ es indefinido

Answer 5

$x^{2} = 16^{2x} = (16^{x})^{2}$ y así,

$x^{2} - (16^{x})^{2} = (x + 16^{x})(x-16^{x}) = 0.$

Ahora, el ajuste $y_{1} = x + 16^{x}$ et $y_{2}=x-16^{2}$ y luego graficando ambas ecuaciones, se verá que $y_{2}$ no cruza el $x$ -(por lo que no admite solución a este problema), mientras que $y_{1}$ cruza el $x$ -eje exactamente una vez en el intervalo $(-1, 0)$ .

Así, podemos aplicar, por ejemplo, el método de Newton a $y_{1} = x + 16^{x}$ para aproximar la solución única a la ecuación exponencial dada, que como alguien ya ha señalado, es del orden de $-.36435$ .