Qué distribuciones son su propia transformada de Fourier además de la distribución normal y el distribución arcoseno generalizada ?
Respuesta
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Supongamos que la transformada de Fourier de $x(t)$ es $X(f)$ donde $$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$$ donde $i = \sqrt{-1}$ . La transformada inversa es $$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$$
Algunas propiedades de la transformada de Fourier son las siguientes:
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La transformada de Fourier de $X(t)$ es $x(-f)$
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Si $x(t)$ es una función par de valor real de $t$ entonces $X(f)$ es una función par de valor real de $f$ .
Así, si $x(t)$ es una función par de valor real de $t$ entonces la transformada de Fourier de la función par de valor real $X(t)$ es $x(f)$
Supongamos ahora que $x(t)$ es una función de densidad de probabilidad par (de modo que $x(t) \geq 0$ para todos $t$ ) con la propiedad adicional que $x(0) = 1$ . Supongamos también que su transformada de Fourier $X(f)$ tiene la propiedad de que $X(f) \geq 0$ para todos $f$ . Entonces, como $$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$$ $X(f)$ es una función de valor real, no negativa, de $f$ con área $1$ Es decir, $X(f)$ es también una función de densidad de probabilidad con la propiedad de que $X(0) = 1$ . Un ejemplo de tal par de funciones es la distribución normal citada por OP Neil G $$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$$ y otro ejemplo es $$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$$
Ahora bien, tenga en cuenta que $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$ es un mezcla cuya transformada de Fourier es $\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$ que es la misma densidad de la mezcla.
Así, si $x(t)$ es una función de densidad cuya transformada de Fourier $X(f)$ es una función de densidad, entonces la función de densidad de la mezcla $\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$ es su propia transformada de Fourier.
Finalmente, dadas dos densidades que son sus propias transformadas de Fourier, por ejemplo $x_1(t)$ y $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$ , cualquier densidad de la mezcla $$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$$ donde $\alpha \in [0,1]$ es una función de densidad que es su propia transformada de Fourier.
