$x^n\in H$ si cada elemento de $G/H$ tiene un orden finito

Question

He escrito una prueba para la afirmación anterior y agradecería cualquier comentario.

Dejemos que $G$ sea un grupo y $H$ un subgrupo normal de $G$ . Demostramos que para todos los $x\in G$ existe $n\in \mathbb{Z}$ tal que $x^n\in H$ si cada elemento de $G/H$ tiene un orden finito. Ahora, \begin{align*} x^n\in H \\ \Leftrightarrow \forall Hg \in G/H \quad \text{ord}(Hg) \text{ divides } n && \text{by part 2 above} \\ \Leftrightarrow k\cdot \text{ord}(Hg) = n && \text{for some integer } k \\ \Leftrightarrow \text{ord}(Hg) \text{ is finite}. \end{align*}

Nota: la segunda parte ha sido probada $x^m\in H$ para todos $x\in G$ si el orden de cada elemento de $G/H$ es un divisor de $m$ .

Answer 1

Pruebas concisas como ésta pueden ocultar problemas. Uno que está claro es el del inicio: el enunciado es sobre "existe $n$ tal que ".

Además, la afirmación es errónea: debería ser "existe $n\in\mathbb{Z}$ , $n>0$ , de tal manera que $x^n\in H$ ".

Recordemos el resultado general: un elemento $x$ del grupo $G$ tiene un orden finito si y sólo si existe $n>0$ tal que $x^n=1$ .

Así, un elemento $xH\in G/H$ tiene un orden finito si y sólo si existe $n>0$ tal que $(xH)^n=1H$ . Pero $(xH)^n=x^nH$ et $yH=1H$ si y sólo si $y\in H$ .

Answer 2

¿Por qué no hacer dos direcciones por separado para mayor claridad?

Supongamos que para cualquier $\;x\in G\;\;\exists\,n_x\in\Bbb N\;$ tal que $\;x^{n_x}\in H\;$ entonces en el cociente $\;G/H\;$

$$(xH)^{n_x}:=x^{n_x}H=H\implies\;\text{ord}\,(xH)\le n_x<\infty$$

Por otro lado, si cada elemento de $\;G/H\;$ tiene un orden finito, entonces para cualquier $\;x\in G\;$ existe $\;n_x\in\Bbb N\; $ tal que

$$H=(xH)^{n_x}=x^{n_x}H\implies x^{n_x}\in H$$