Un rompecabezas sobre la búsqueda de tres puntos $(x,y)$ , $(x,z)$ et $(y,z)$ en un subconjunto de un cuadrado.

Question

Me pidieron (a mí mismo) que diera una prueba del siguiente enunciado geométrico aparentemente sencillo, pero después de pensar un poco ahora sospecho que podría ser menos elemental de lo que pensaba (¿o estoy siendo tonto?). ¿Alguien lo conoce y puede dar una respuesta o una referencia al mismo? Por supuesto, estoy bastante seguro de que debería encajar en una teoría más amplia en combinatoria o en probabilidad, pero se agradecería una respuesta elemental.

Dejemos que $S$ sea un subconjunto (digamos abierto) de un cuadrado $[0,1]^2$ con medida de Lebesgue $|S|>1/2$ . Entonces, existe un rectángulo con un vértice en la diagonal, y los otros tres vértices en $S$ (en otras palabras, hay tres puntos de $S$ de la forma $(x,y)$ , $(x,z)$ et $(y,z)\\ $ ).

La constante $1/2$ no puede ser rebajado, como el ejemplo del subconjunto $S^* :=(0,1/2)\times(1/2,1)\cup(1/2,1)\times(0,1/2)$ muestra (para tres puntos cualesquiera $x,y,z$ en $[0,1]$ al menos 2 de ellos son menores o mayores que $1/2$ por lo que el par correspondiente no está en $S^*$ .

Answer 1

Dejemos que $S(x)=\{y\mid(x,y)\in S\}$ et $S^{-1}(y)=\{x\mid(x,y)\in S\}$ y que $\lambda_n$ denotan la medida de Lebesgue en $[0,1]^n$ . Tenemos

$$\begin{align*} \int_S(\lambda_1S(x)+\lambda_1S^{-1}(y))\,dx\,dy &=\int_S\lambda_1S(x)\,dx\,dy+\int_S\lambda_1S^{-1}(y)\,dx\,dy\\ &=\int(\lambda_1S(x))^2\,dx+\int(\lambda_1S^{-1}(y))^2\,dy\\ &\ge\left(\int\lambda_1S(x)\,dx\right)^2+\left(\int\lambda_1S^{-1}(y)\,dy\right)^2\\ &=2(\lambda_2S)^2>\lambda_2S=\int_S1\,dx\,dy, \end{align*}$$

por lo que existe $(x,z)\in S$ tal que $\lambda_1S(x)+\lambda_1S^{-1}(z)>1$ . Esto implica $S(x)\cap S^{-1}(z)\ne\varnothing$ es decir, existe $y$ tal que $(x,y),(y,z)\in S$ .