Supongamos que $(a,b,c)\neq(0,0,0)$ donde $a$ , $b$ y $c$ son números racionales. ¿Es el $3\times 3$ matriz $$\left(\begin{matrix} a & 2c & 2b \\ b & a & 2c \\ c & b & a \end{matrix}\right)$$ ¿siempre es invertible? El determinante resultó ser $a³-6abc+2b³+4c³$ que no parece ser muy esclarecedor. He intentado considerar tres casos $a\neq 0$ , $b\neq 0$ y $c\neq 0$ pero no consigo nada. Gracias.
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JMoravitz
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Dejemos que $d$ sea el común denominador de estos números racionales. Si tu matriz original fuera no invertible entonces también lo sería $d$ veces la matriz y todas las entradas serían números enteros. Del mismo modo, podemos dividir por su máximo común divisor manteniendo la matriz no invertible.
Podemos suponer entonces que $a,b,c$ son todos los números enteros con al menos un no-cero tal que $\gcd(a,b,c)=1$ . Entonces, la pregunta es, aparte de la solución trivial, si existe enteros $a,b,c$ con $\gcd(a,b,c)=1$ tal que $a^3+2b^3+4c^3-6abc=0$ .
Si existe tal solución, entonces $a$ debe ser par porque de lo contrario con $a$ impar tenemos un número impar más o menos múltiples números pares igual a cero, una imposibilidad.
Así que... reemplazar $a$ por $2x$ con $x$ un número entero. Tenemos $8x^3 + 2b^3+4c^3-12xbc=0$ . Divide todo por dos. $4x^3+b^3+2c^3-6xbc=0$ que es sospechosamente familiar a la ecuación original.
Por la misma lógica, $b$ también es par. Sustitución de $b$ por $2y$ y haciendo lo mismo también muestra que $c$ está en paz.
Sin embargo, todo esto es una contradicción, ya que implica que $2$ es un divisor común de $a,b,c$ contradiciendo que $\gcd(a,b,c)=1$
