Subgrupos de un grupo abeliano finito

Question

Dejemos que $$G=\mathbb{Z}/p_1^{e_1}\times\cdots\times\mathbb{Z}/p_n^{e_n}$$ sea cualquier grupo abeliano finito.

¿Qué son $G$ ¿Subgrupos? Puedo obtener muchos subgrupos agrupando los factores y multiplicándolos por constantes, por ejemplo: Si $$G=\mathbb{Z}/3\times \mathbb{Z}/9\times \mathbb{Z}/4\times \mathbb{Z}/8,$$ entonces puedo tomar $$H=3(\mathbb{Z}/3\times \mathbb{Z}/9)\times 2(\mathbb{Z}/4) \times \mathbb{Z}/8.$$ ¿Consigo así todos los subgrupos? (Me interesan todos los subgrupos, no sólo hasta el isomorfismo).

Cuáles son los subgrupos $H$ en $G$ para lo cual $G/H$ ¿es la primaria cíclica?

Answer 1

El problema de enumerar los subgrupos de un grupo abeliano finito no es trivial y es interesante. También merece la pena estudiar este conjunto como un entramado. Hasta donde yo sé, la referencia "Subgroup lattices and symmetric functions" de Lynne M. Butler (Memoirs of the AMS, no. 539; MR1223236) refleja el estado del arte. Está muy bien escrito y contiene un buen estudio de la historia del problema.

Answer 2

Cabe destacar este caso especial: si $G$ es isomorfo a $(\mathbb{Z}/p)^r$ entonces puede considerarse como un espacio vectorial de dimensión $r$ sobre el campo $\mathbb{Z}/p$ y los subgrupos son sólo los subespacios. El número de listas linealmente independientes de longitud $n$ es

$(p^r-1)(p^r-p)\dotsb(p^r-p^{n-1})$

(elija un vector no nulo $v_1$ , entonces un vector $v_2$ no en el espacio unidimensional abarcado por $v_1$ entonces $v_2$ no en el espacio bidimensional abarcado por $v_1$ et $v_2$ etc.). Para cualquier subespacio $V$ de dimensión $n$ el número de bases es

$(p^n-1)(p^n-p)\dotsb(p^n-p^{n-1})$

por el mismo argumento. De ello se deduce que el número $N_n$ de subespacios de dimensión $n$ es

$ N_n = \frac{(p^r-1)\dotsb(p^r-p^{n-1})}{(p^n-1)\dotsb(p^n-p^{n-1})} = \frac{(p^r-1)(p^{r-1}-1)\dotsb(p^{r-n+1}-1)}{(p^n-1)(p^{n-1}-1)\dotsb(p-1)} $

Answer 3

Estas tres respuestas eran originalmente comentarios. Respondo a la parte de la pregunta que se ha eliminado:

¿Hay algo más (interesante) que decir sobre la colección de subgrupos de un grupo abeliano [finito]?

1. Este documento: Ganjuškin, A. G. Enumeración de subgrupos de un grupo abeliano finito (teoría). Computations in algebra and combinatorial analysis, pp. 148-164, Akad. Nauk Ukrain. SSR, Inst. Kibernet., Kiev, 1978 da un algoritmo para enumerar todos los subgrupos de un grupo abeliano finito.

Actualización. La respuesta de Amritanshu Prasad, los comentarios de Derek Holt y Robin Chapman proporcionan aquí mucha más información (muy interesante) sobre la enumeración de subgrupos.

1. Por otra parte, la teoría elemental de los pares $(A,H)$ donde $A$ es un grupo abeliano finito y $H$ es su subgrupo es indecidible (véase Taĭclin, M. A. Elementary theories of lattices of subgroups, Algebra i Logika 9 1970 473-483 y referencias allí). Por lo tanto, no puede haber una buena descripción de los subgrupos de los grupos abelianos finitos (por ejemplo, no se puede representar un par $(A,H)$ como un producto directo de pares de tamaños acotados en términos del periodo de $A$ ).

2. Esta es una mejor referencia que Taiclin. Slobodskoĭ, A. M.; Fridman, È. I.: Teorías de grupos abelianos con predicados que distinguen subgrupos. Algebra i Logika 14 (1975), no. 5, 572-575.

Actualización De hecho, en el artículo, Sapir, M. V. Variedades con un número finito de subcuadros. Sibirsk. Mat. Zh. 22 (1981), nº 6, 168-187, demostré que para cada primo $p$ no se puede encontrar un número finito de pares $(A_i,H_i)$ tal que cada par $(A,H)$ donde $A$ es un grupo abeliano de período $p^6$ (no es cierto para $p^5$ ) es un producto directo de copias de $(A_i,H_i)$ .