Es intrínsecamente difícil dar una negativo respuesta a una pregunta como esta, pero aquí hay un hecho técnico que empuja en esa dirección:
Que ZFC $_n$ sea la subteoría de ZFC obtenida restringiendo la separación y el reemplazo a $\Sigma_n$ fórmulas . Por el principio de reflexión , $^1$ para cada $n$ la teoría ZFC demuestra que existe un ordinal $\alpha_n$ tal que $V_{\alpha_n}\models$ ZFC $_n$ . Es decir: $$\mbox{For each $ n\in\mathbb{N} $, ZFC proves Con(ZFC$ _n $).}$$
Podemos pensar en el $V_{\alpha_n}$ s como "universos aproximados" que se comportan como universos para todas las fórmulas "suficientemente simples", el punto es que si se especifica un nivel de complejidad por adelantado siempre se puede asumir que se tiene un universo aproximado apropiado para ese nivel de complejidad.
Ahora, el teorema de la compacidad sugiere ingenuamente que, dado que sólo podemos utilizar un número finito de sentencias en una prueba dada, cualquier argumento con universos puede ser sustituido por uno que implique sólo universos aproximados y, por tanto, una prueba en ZFC. Esto es, por supuesto, falso Pero los contraejemplos tienen que ser "globales" y no "locales", es decir, tienen que referirse en algún momento a la totalidad del universo en cuestión como un único objeto completo.
Por ejemplo, la forma en que ZFC + universos demuestra la consistencia de ZFC es mostrando que un universo $U$ es un modelo de ZFC. La afirmación " $U\models$ ZFC" se expresa en el lenguaje de la teoría de conjuntos hablando de funciones Skolem sobre $U$ (o algo moralmente equivalente), y esto tiene lugar en el contexto de la conjunto de potencias de $U$ . Pero este tipo de cosas no es, hasta donde yo sé, la forma en que se aplican los universos en la geometría algebraica, sino que utilizan un universo para argumentar que existe un objeto "suficientemente cerrado". en ese universo Y este argumento "local" es exactamente el tipo de cosa que el principio de reflexión nos dice que puede reducirse generalmente a la ZFC sola.
Básicamente, un ejemplo de candidato no sólo debe tener lugar dentro de un universo, sino más bien en un universo.
Dicho esto, hay un lugar obvio para buscarlo: argumentos utilizando dos (o $n$ ) universos . El universo mayor sí ve al universo menor como un objeto completo, por lo que la heurística gruesa anterior sugiere que podemos sustituir sólo el universo mayor por un universo aproximado, es decir, que los argumentos que se formulan rápidamente en términos de dos universos pueden traducirse directamente a argumentos que implican sólo un universo. Ahora ya no podemos hacer trampas: necesitamos argumentos reales sobre la geometría algebraica. Entiendo que todavía estamos en una situación en la que los universos son una comodidad innecesaria, pero ahora estoy muy fuera de mi área de competencia. Aun así, lo anterior debería dar una indicación de por qué un uso esencial real de los universos en un resultado concreto (que seguramente sólo implicará la referencia a un pequeño fragmento de la jerarquía acumulativa) sería muy sorprendente.
$^1$ Bien, el principio de reflexión se suele formular para subteorías finitas de ZFC. Pero $(i)$ que no es realmente diferente en cuanto a la heurística, sólo más molesto para trabajar; y $(ii)$ la versión más fuerte de la reflexión que he expuesto también es cierta (la cuestión es que para cada $n$ Los esquemas de $\Sigma_n$ -Separación y -Reemplazo pueden expresarse en el lenguaje de la teoría de conjuntos mediante una única sentencia, que a su vez puede demostrarse a partir de un número finito de axiomas de ZFC que podemos golpear con el habitual martillo de reflexión) .
Y a este respecto, conviene señalar dos datos sobre la reflexión que ayudan a completar el cuadro:
-
En primer lugar, dado que ZFC demuestra el teorema de compacidad, parece que estamos en tensión con el teorema de incompletitud de Godel. Lo que nos salva es que " $\forall n$ " y "ZFC demuestra" no conmutan (a menos que ZFC sea inconsistente, por supuesto): mientras que ZFC demuestra cada instancia específica de la reflexión, no puede demostrar la versión completa (a menos que, de nuevo, sea inconsistente).
-
También vale la pena señalar que un resultado similar es válido para la aritmética (de primer orden) de Peano (al igual que la versión análoga del punto anterior), aunque, por supuesto, tenemos que hablar de meras teorías completas consistentes de Henkin en lugar de modelos canónicos. Como bonita consecuencia, Kripke utilizó este hecho para dar una prueba puramente teórica de modelos del teorema de incompletitud de Godel (en ausencia de reflexión, su argumento requeriría la solidez de la AP, de forma similar a como el argumento original de Godel suponía $\omega$ -coherencia en lugar de mera consistencia) .
