¿Cómo puedo demostrar que $\det(v_1,v_2,\ldots,v_n)=dx_1\, dx_2\cdots dx_n(v_1,v_2,\ldots,v_n)$ ?

Question

Quería utilizar la definición de un producto de cuña que dice $_1_2\cdots _k(v_1,v_2,\ldots,v_k)=\det(_i(v_j))$ con $1<i,j<k$ pero no estoy seguro de que eso pueda funcionar

Answer 1

Esto es esencialmente por la definición que usted escribió. Se supone que $x_1, \ldots, x_n$ es una base, y por definición $dx_1, \ldots, dx_n$ son la base dual. Así, si se amplía $v_j=a_{j1}v_1+\cdots + a_{jn}v_n$ en esta base, entonces $dx_i(v_j)=a_{ji}$ .

También en esta base $(v_1, \ldots, v_n)=(a_{ij})$ . Así que desde $\det(a_{ij})=\det(a_{ij}^T)=\det(a_{ji})=dx_1\cdots dx_n(v_1, \ldots , v_n)$ hemos terminado.