[Estoy trabajando en la investigación de una respuesta completa, esto es lo más lejos que he llegado hasta ahora, editaré a medida que trabaje más en la solución].
Otras investigaciones han revelado este documento que proporciona al menos parte de la respuesta.
En resumen, los mínimos cuadrados ordinarios (MCO) no tienen en cuenta las incertidumbres en ninguno de los dos ejes, y los mínimos cuadrados ponderados (MPC) sólo tienen en cuenta las incertidumbres en la variable predictora / variable dependiente / en el eje y. La publicación mencionada aboga por el uso de los mínimos cuadrados bivariados (BLS) en lugar de la regresión por distancia ortogonal (ODR), pero continúa derivando fórmulas para los intervalos de predicción que parecen ser compatibles con la ODR.
En este enfoque, cada "punto de datos $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ se considera el resultado de múltiples experimentos u observaciones en condiciones aparentemente iguales, lo que permite calcular la varianza del par de variables predictoras y de respuesta.
El predictor ( $x_{i}$ ) y la respuesta ( $y_{i}$ ) se relacionan mediante la siguiente ecuación
$y_{i}=b_{0}+b_{1} x_{i}+e_{i}$
donde $b_{0}$ et $b_{1}$ son las estimaciones de la intercepción y la pendiente del modelo lineal verdadero, y $e_{i}$ es el $i$ error residual. La varianza de $e_{i}$ se denomina factor de ponderación y se denota como $w_{i}$ o $s_{e_{i}}^{2}$ :
$w_{i}=s_{e_{i}}^{2}=s_{y_{i}}^{2}+b_{1}^{2} s_{x_{i}}^{2}-2 b_{1} \operatorname{cov}\left(x_{i}, y_{i}\right)$
donde $s_{x_{i}}^{2}$ et $s_{y_{i}}^{2}$ son las varianzas experimentales del punto $i$ y $\operatorname{cov}\left(x_{i}, y_{i}\right)$ es la covarianza entre las mediciones de cada $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ par de datos.
La varianza de la variable de respuesta $y_{0}$ siendo la media de los $q$ observaciones realizadas en $x_{0}$ está dada por:
$s_{y_{0}}^{2}=\left(\frac{1}{q}+ X _{0}^{ T }\left( X ^{ T } W ^{-1} X \right)^{-1} X _{0}+s_{x_{0}}^{2} b_{1}^{2}\right) s^{2}$
donde $s^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}}{w_{i}}}{n-2}$ es la estimación de la verdadera varianza experimental, $X_{0}$ es un vector columna de dos elementos $\left|\begin{array}{l} 1 \\ x_{0} \end{array}\right|$ y $X$ es un $n \times 2$ matriz para la cual la primera columna es una columna de unos y la segunda columna está formada por la $n$ valores de $x$ correspondientes a los puntos experimentales; $W$ es un $n \times n$ matriz diagonal cuyo $i$ elemento diagonal es el factor de ponderación $w_{i}$ definida anteriormente.
La varianza del valor medio del predictor en una observación determinada $y_{0}$ es
$s_{x_{0}}^{2}=\left( Y _{0}^{ T }\left( Y ^{ T } W ^{\prime -1} Y \right)^{-1} Y _{0}+s_{y_{0}}^{2} \frac{1}{b_{1}^{2}}\right) s^{\prime 2}$
donde $Y _{0}$ es $\left|\begin{array}{l} 1 \\ y_{0} \end{array}\right|$ , $Y$ es un $n \times 2$ matriz para la cual la primera columna es una columna de unos y la segunda columna son los valores de $y$ , $W^{\prime}$ es un $n \times n$ matriz diagonal cuyo $i$ elemento diagonal es el factor de ponderación $w_{i}^{\prime}=s_{x_{i}}^{2}+\frac{1}{b_{1}^{2}} s_{y_{i}}^{2}-2 \frac{1}{b_{1}} \operatorname{cov}\left(x_{i}, y_{i}\right)$ y $s^{\prime 2}$ el error experimental asociado a las variables predictoras, dado por
$s^{\prime 2}=\frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}}{w_{i}^{\prime}}}{n-2}$
La varianza de la predicción de la variable predictora de una muestra futura en $y_{0}$ la media de $q$ observaciones, es
$s_{x_{0}}^{2}=\left(\frac{1}{q}+ Y _{0}^{ T }\left( Y ^{ T } W ^{-1} Y \right)^{-1} Y _{0}+s_{y_{0}}^{2} \frac{1}{b_{1}^{2}}\right) s^{\prime 2}$
Los intervalos de predicción de las variables de respuesta y predictoras vienen dados entonces por
$y_{0} \pm t_{\alpha, n-2} s_{y_{0}}$ $x_{0} \pm t_{\alpha, n-2} s_{x_{0}}$
donde $t_{\alpha, n-2}$ es el $t$ -valor para el nivel de significación requerido $\alpha$ et $n-2$ grados de libertad.
TODO: Interfaz para scipy.odr de salida.
