$W_0^{1,p}(\Omega)\neq W^{1,p}(\Omega)$

Question

Si $\Omega=B^n(0,1)\subseteq \mathbb{R}^n$ prueba de que $W_0^{1,p}(\Omega)\neq W^{1,p}(\Omega)$ donde para todo $p\in[1,\infty)$

Por definición tenemos que $W_0^{1,p}(\Omega)\subseteq W^{1,p}(\Omega)$ por lo que es suficiente con mostrar una función $u:\Omega\to\mathbb{R}$ tal que $u\in W^{1,p}(\Omega)$ et $u\notin W_0^{1,p}(\Omega)$ pero no sé qué función podría funcionar o cómo encontrar a alguien.

Answer 1

Desde $\partial \Omega$ es suave, $u \in W^{1,p}_0(\Omega)$ si y sólo si $u \in W^{1,p}(\Omega)$ et $Tu=0$ en $\partial \Omega$ donde $T$ es el operador de rastreo. Si $u \in W^{1,p}(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$ entonces $Tu= u \vert_{\partial \Omega}$ . Así, cualquier función $u \in W^{1,p}(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$ que no es idénticamente cero en $\partial \Omega$ está en $W^{1,p}(\Omega)$ pero $W^{1,p}_0(\Omega)$ .

Por ejemplo, tome $u\equiv 1$ en $\Omega$ .