Supongamos que $$P(B|A) = 1/5,\ P(A) = 3/4,\ P(A \cap B) = 3/20,\ \textrm{and}\ P(¬B|¬A) = 4/7.$$ Encuentre $P(B)$ .
Lo que he probado: $$P(B)=\dfrac{ P(A \cap B)}{P(B|A)}=(3/20)/(1/5) = 3/4.$$
La respuesta es $P(B)=9/35.$
¿Dónde he cometido el error?
La probabilidad de B se puede dividir en la probabilidad dada A y dada no A $$P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A)$$ Las negaciones pueden ser sustituidas por una menos la real y viceversa $$P(B) = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} + (1-P(\neg B| \neg A)) \cdot (1-P(A))$$ $$P(B) = \frac{3}{20} + (1-\frac{4}{7})\cdot (1-\frac{3}{4})$$ $$P(B) = \frac{3}{20} + \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{4}$$ $$p(B) = \frac{3}{20} + \frac{3}{28}$$ $$p(B) = \frac{21}{140} + \frac{15}{140}$$ $$P(B) = \frac{36}{140}$$ $$P(B) = \frac{9}{35}$$
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