Evaluar $\lim_{x\to 1} \frac{p}{1-x^p}-\frac{q}{1-x^q}$

Question

Evaluar

$$\lim_{x\to 1} \frac{p}{1-x^p}-\frac{q}{1-x^q}$$ donde $p,q$ son números naturales.

Intenté la racionalización, pero no fui capaz de llegar a ninguna parte. No estoy siendo capaz de eliminar el $\infty-\infty$ forma indeterminada. Se agradecería cualquier ayuda. Muchas gracias.

EDIT: La respuesta dada es $\frac{p-q}{2}$

Answer 1

¡Simetría! Dejemos que $f_{p,q}(x) = \frac{p}{1-x^p}-\frac{q}{1-x^q}$ . Entonces: $$ f_{p,q}\left(x^{-1}\right) = (p-q)-f_{p,q}(x)$$ por lo tanto, asumiendo que el límite original existe:

$$ \lim_{x\to 1}f_{p,q}(x) = \frac{1}{2}\lim_{x\to 1}\left(f_{p,q}(x)+f_{p,q}(x^{-1})\right) = \frac{1}{2}\lim_{x\to 1}(p-q)=\color{red}{\frac{p-q}{2}}.$$

La suposición $p,q\in\mathbb{N}^+$ es de hecho innecesario, sólo necesitamos $p,q\neq 0$ .

Answer 2

Creo que hay un fallo en la prueba de Jack. Ese enfoque me parece interesante, pero es una especie de ansatz, porque supone que el límite existe. Ese método es útil para demostrar que el límite debe ser $\frac{p-q}{2}$ si existe. Cuando no sabemos si el límite existe o no, podemos llegar a conclusiones erróneas si no tenemos cuidado. Te daré un ejemplo utilizando la simetría aditiva en lugar de la multiplicativa.

Considere $f:\mathbb{R}-\{0\}\to \mathbb{R}$ dado por $f(x) = \sin(\frac{1}{x})$ . Está claro que $f(x) + f(-x) = 0$ por lo que tenemos $$ \lim_{x\to 0}f(x) = \frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\left(f(x)+f(-x)\right) = \frac{1}{2}\lim_{x\to 0}0=0$$

Pero eso es erróneo ya que el límite $\lim_{x\to 0}f(x)$ no existe.

Para superar esta dificultad tienes dos opciones. La primera es complementar el argumento de Jack con una prueba de la existencia del límite. Otra posibilidad es proporcionar una prueba completamente diferente. Para el primer caso, supongo que no debería ser demasiado complicado demostrar que $f_{p,q}$ es monótona en un intervalo $(1-\epsilon;1)$ . Para la segunda, daré otra prueba que funciona bien para el caso $p,q \in \mathbb{N}$ .

Definir $f_{p}(x) = \frac{1-x}{1-x^p} = \frac{1}{1+x+ \cdots + x^{p-1}}$ para $p \in \mathbb{N}$ . Con la segunda expresión podemos pensar que $f_{p}$ se define sobre $\mathbb{R}$ . Además, tenemos $f_p \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ . Entonces, calculando la primera derivada y utilizando la diferenciabilidad de $f_p$ en $1$ tenemos $$f_p(x) = \frac{1}{p} - \frac{p-1}{2p}(x-1) + \varepsilon(x-1)$$ donde $\frac{\varepsilon(x)}{x} \to 0$ como $x$ se acerca a $0$ . Ahora, para $x\neq1$ tienes $$ \frac{p}{1-x^p} = \frac{p}{1-x} \cdot f_p(x) = \frac{1}{1-x} + \frac{p-1}{2} - p\frac{\varepsilon(x-1)}{x-1}$$

Considerando $f_p$ y $f_q$ y duplicando las manipulaciones anteriores, tenemos $$ \frac{p}{1-x^p} - \frac{q}{1-x^q} = \frac{p-q}{2} + \delta (x)$$ con $\delta (x) \to 0$ cuando $x$ se acerca a $1$ debido a la mencionada propiedad para $\varepsilon$ .