¿Cómo puede la pequeña topología l2 ser más fina que la topología uniforme?

Question

¿Cómo puede el $\ell_2$ sea más fina que la topología uniforme del conjunto $X$ de secuencias sumables al cuadrado?

Si el $\ell_2$ es siempre mayor o igual que la métrica uniforme. ¿No significaría esto que las bolas épsilon en $\ell_2$ son siempre mayores que las bolas épsilon bajo la métrica uniforme? Intento demostrar que la $\ell_2$ las bolas están contenidas dentro de las bolas uniformes, ¿verdad?

Answer 1

Este es un concepto engañoso. Consideremos, por ejemplo, la línea real. Si se define la $\epsilon$ -bola para ser $B(x,\epsilon)=\{(y\space s.t.\space 2|y-x|<\epsilon\}$ esto haría que las bolas fueran "2 veces más pequeñas", aunque la topología es la misma.

Recuerde, que aunque para un fijo $\epsilon$ $d_1$ - $\epsilon$ -bola es más pequeña que la $d_2$ - $\epsilon$ -bola, aún puede haber una menor $\delta$ tal que $d_2$ - $\delta$ -la bola es más pequeña que $d_1$ - $\epsilon$ - de la pelota.

Ahora pista para demostrar que $\ell_2$ es más fina que la uniforme pero más gruesa que la topología de caja considera $M(x)=\{y:|x_i-y_i|^2<\epsilon^2/2^i\}$ y demostrar que $M(x)\subset B_{\ell_2}(x,\epsilon)\subset B_{\rho}(x,\epsilon)$ donde $\rho$ es una métrica uniforme.

Answer 2

Basta con demostrar que

1. Toda bola uniforme abierta contiene un $\ell_2$ pelota.
2. Existe una bola uniforme abierta que no está contenida en ninguna $\ell_2$ bolas.

Al saber que el $\ell_2$ métrica es mayor o igual que la métrica uniforme, sólo demuestras 1.

Para demostrar 2, supongamos que $B$ es una bola abierta de radio $\sqrt{r/2}$ con respecto a la métrica uniforme centrada en $0$ . $B$ se compone de secuencias $(x_1, x_2, \ldots)$ tal que $\sum_{n=1}^\infty x_n^2 < \infty$ y $|x_n| < r$ . Es fácil ver que $\sum_{n=1}^\infty x_n^2$ no está acotado incluso cuando $x_n$ están limitados por $r$ Así que $B$ no está contenida en ningún $\ell_2$ pelotas. (Más rigurosamente, para cualquier $L > 0$ existe un número entero $m$ tal que $mr/2 > L$ . La secuencia definida por $x_n = \sqrt{r/2}$ para $n \le m$ y $x_n = 0$ para $n > m$ es miembro de $B$ pero no es miembro de un $\ell_2$ bola de radio $L$ porque $\sum_{n=1}^\infty x_n^2 = \sum_{n=1}^m (r/2) = mr/2 > L$ . Por lo tanto, $B$ no está contenida en $\ell_2$ bolas de cualquier radio).