Series de Fourier - Periodicidad

Question

No sé si estoy haciendo algo mal en este ejercicio.

$f(t)=\pi-t$ , si $0<t<\pi$

$f(t)=0$ , si $\pi<t<2\pi$

Tengo que encontrar la serie de Fourier de $f(t)$

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Defino la serie de Fourier así:

T: período

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n.\cos{\frac{2\pi nt}{T}}+b_n.\sin{\frac{2\pi nt}{T}}]$$

donde ( $\alpha$ es un número real)

$$a_0=\frac{2}{T}.\int_{\alpha}^{\alpha+T}f(t)dt$$

$$a_n=\frac{2}{T}.\int_{\alpha}^{\alpha+T}f(t).\cos{\frac{2\pi nt}{T}}dt$$

$$b_n=\frac{2}{T}.\int_{\alpha}^{\alpha+T}f(t).\sin{\frac{2\pi nt}{T}}dt$$

Este es el problema: creo que $T=4\pi$ porque extiendo la función $f(t)$ de $-2\pi$ a $2\pi$ así que tengo esto:

$$a_0=\frac{1}{2\pi}.\int_{-2\pi}^{2\pi}f(t)dt=\frac{1}{\pi}.\int_{0}^{2\pi}f(t)dt$$

$$a_n=\frac{1}{2\pi}.\int_{-2\pi}^{2\pi}f(t).\cos{\frac{nt}{2}}dt=\frac{1}{\pi}.\int_{0}^{2\pi}f(t).\cos{\frac{nt}{2}}dt$$

$$b_n=\frac{1}{2\pi}.\int_{-2\pi}^{2\pi}f(t).\sin{\frac{nt}{2}}dt=\frac{1}{\pi}.\int_{0}^{2\pi}f(t).\sin{\frac{nt}{2}}dt$$

Pero otras personas tomaron $T=2\pi$ y lo han hecho:

$$a_0=\frac{2}{2\pi}.\int_{0}^{2\pi}f(t)dt=\frac{1}{\pi}.\int_{0}^{2\pi}f(t)dt$$

$$a_n=\frac{2}{2\pi}.\int_{0}^{2\pi}f(t).\cos{nt} dt=\frac{1}{\pi}.\int_{0}^{2\pi}f(t).\cos{nt} \mathrm{d}t$$

$$a_n=\frac{2}{2\pi}.\int_{0}^{2\pi}f(t).\sin{nt} dt=\frac{1}{\pi}.\int_{0}^{2\pi}f(t).\sin{nt} \mathrm{d}t$$

Mira que tomó la integral entre 0 y $2\pi$ y lo tomé de $-2\pi$ a $2\pi$

¿He hecho algo mal? ¿Por qué este tomó el período de 0 a $2\pi$ ? $f(t)$ no es una función periódica?

Gracias.

Answer 1

No importa si elegimos ampliar $f$ para que el periodo sea $2 \pi$ o $4 \pi$ . Tu problema es una simplificación que hiciste al determinar los coeficientes.

$$a_n = \frac{2}{4 \pi} \int_{-2 \pi}^{2\pi} f(t) \cos{\frac{n t}{2}} \ dt \neq \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t) \cos{\frac{n t}{2}} \ dt,$$ porque cuando se amplía la función $f(t)$ al intervalo $[-2 \pi, 2 \pi]$ NO es una función par. Por lo tanto, debes calcular la integral sobre todo el intervalo y no hacer esta simplificación incorrecta.

Lo que encontrará es que cuando $n$ es impar, obtendrá $a_n = b_n = 0$ y que cuando $n$ es parejo obtendrá la misma respuesta que si pensara que la función sólo tiene un período de $2 \pi$

Answer 2

Yo me encargo de esto: $a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi (\pi - t)\, dt = \frac{\pi}{4}$ y $a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi (\pi - t)\cos nt \, dt = \frac{2}{\pi n^2}$ si $n$ es impar y $0$ por lo demás. de la misma manera que yo $b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi (\pi - t)\sin nt \, dt= \dfrac{1}{n}.$

por lo que la serie de Fourier queda como $$f \simeq\dfrac{\pi}{4} + \sin t + \dfrac{2}{\pi}\cos t + \cdots $$

Answer 3

$f$ sólo está definida en un intervalo, por lo que $f$ puede hacerse periódica extendiéndola a toda la línea real (o sólo a $[-2\pi,2\pi]$ si lo prefiere). Al final, el periodo $T$ de $f$ será $2\pi$ porque esa es la longitud del intervalo original ( $[0,2\pi]$ ) en el que $f$ se definió.

Sus cálculos son correctos, porque $4\pi$ es también un período de $f$ aunque no es el periodo fundamental (el menor número positivo que puede llamarse "un periodo" de $f$ ). Entonces, ¿las dos cosas son correctas?

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n.\cos{\frac{2\pi nt}{T}}+b_n.\sin{\frac{2\pi nt}{T}}]$$ $$f(t)=\frac{\tilde a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[\tilde a_n.\cos{\frac{2\pi nt}{\tilde T}}+\tilde b_n.\sin{\frac{2\pi nt}{\tilde T}}]$$

Donde $a_n$ y $\tilde a_n$ (etc) son los coeficientes de las dos fórmulas que has publicado (una considerando $T=2\pi$ y el otro $\tilde T=4\pi$ ).

Sí, son lo mismo. Lo que ocurre es que $\tilde a_n=\tilde b_n=0$ siempre que $n$ es impar. Puedes comprobar que esto hace que las fórmulas sean iguales.

EDITAR: los cálculos no son del todo correctos, porque, como se menciona en la respuesta de Kevin Discroll, no se pueden hacer las simplificaciones para reducir la integral sobre $[-2\pi,2\pi]$ al doble de la integral sobre $[0,2\pi]$ (usted podría hacer esta simplificación si el integrando fuera sólo $f(t)$ pero no se puede para el integrando $f(t)\cos nt/2$ (ver los comentarios en su respuesta). Mi respuesta anterior sólo es cierta si se define: $$\tilde a_n = \frac1{2\pi}\int_{-2\pi}^{2\pi}f(t)\cos (nt/2) dt$$ y lo mismo para $\tilde b_n$ .