Pasos para encontrar la fórmula general de la serie

Question

Mira esta serie: 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, ... Me he pasado dos días intentando encontrar la fórmula del enésimo término, pero es muy difícil encontrar la manera. ¿Puedes ayudarme con los pasos para obtener la fórmula general del enésimo término? Si se puede expresar como resumen Sería estupendo. Gracias de antemano, ¡que Dios le bendiga!

Answer 1

Ver https://oeis.org/A002620 "Cuartos de plaza: suelo(n/2)*techo(n/2). Equivalentemente, floor(n^2/4)".

Además del título, hay decenas de fórmulas, muchas de las cuales son sumas. Siéntase libre de enumerar su fórmula favorita aquí.

Answer 2

Cuando se encuentra una nueva secuencia de números, siempre vale la pena buscarla en OEIS (como ha hecho Chris Cultler en su respuesta).

Observe que los términos Impares son los números cuadrados y los términos pares son los números oblongos ( $2$ veces los números del triángulo). Sus funciones generadoras son \begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} i^2 x^i =\frac{x(1+x)}{(1-x)^3} \\ \sum_{i=1}^{\infty} i(i+1) x^i=\frac{2x}{(1-x)^3} \end{eqnarray*} Al intercalar las secuencias se obtiene \begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} a_i x^i =\frac{x(1+x^2)}{(1-x^2)^3} +\frac{2x^2}{(1-x^2)^3} = \frac{x}{(1-x)^2(1-x^2)}. \end{eqnarray*}