¿Cómo puedo demostrar simbólicamente que $\lim_{n \to \infty } (n-n^2)=- \infty $ ?

Question

Intuitivamente sabemos que $n^2$ crece más rápido que $n$ por lo que la diferencia tiende al infinito negativo. Pero tengo problemas para demostrarlo simbólicamente debido a la forma indeterminada $\infty - \infty$ . ¿Hay alguna forma de hacerlo sin recurrir a la definición Epsilon-Delta?

Answer 1

Tenga en cuenta que cuando $n\ge 2$ ,

$$n - n^2 \le n \left(\frac n2\right) - n^2 = -\frac{n^2}{2},$$

como $$\lim_{n\to \infty} -\frac{n^2}{2} = -\infty,$$

entonces también lo son $\lim (n-n^2)$ .

Answer 2

Otra forma: completar el cuadrado $n-n^2=\frac14-\bigl(n-\frac12\bigr)^2\to -\infty$ .

Answer 3

Dejemos que $M < 0$ Entonces $n-n^{2} = n(1-n) < n(1-5) = -4n < M$ si $n > \max \{ 5, |M|/4 \}$ .