Alguna propiedad de la función diferenciable

Question

Dejemos que $f:[0,2]\to\mathbb{R}$ sea una función continua y $f$ es diferenciable en $(0,2)$ y que $f(0)=f(2)=0$ . Ahora, supongamos que hay un punto $c\in(0,2)$ tal que $f(c)=1$ . Entonces, hay un punto $k\in(0,2)$ tal que $\vert f'(k)\vert>1$ .

Intuitivamente, es bastante trivial. Pero, no puedo encontrar ninguna manera de probarlo.

¿Cómo demostrarlo utilizando la T.V.M. u otro teorema popular?

Dar alguna idea o consejo. Gracias.

Answer 1

$c=1$ caso: Si $|f(k)|>1$ para algunos $k$ entonces hemos terminado por el teorema del valor medio.

Por lo tanto, asuma $|f| \leq 1$ . Entonces $c = 1$ es un punto de máximo $\implies f'(1)=0$ . Supongamos como contradicción que $f'$ nunca es mayor que 1. Entonces tenemos $f(x) \leq x$ $\forall x$ .

Por el teorema del valor medio, sabemos que $f'(k) = 1$ para algunos $k \in [0,1]$ . Por el teorema de Darboux (la derivada tiene la propiedad del valor intermedio), $0 < f'(a) = \frac{1}{2} < 1$ para algunos $a\in (k,1) \implies \exists x \in(0,1) s.t. f(x) < x$ y obtenemos una contradicción por el valor medio thorem como $\frac{1-f(x)}{1-x} > \frac{1-x}{1-x} = 1$ .

El $c<1$ y $c>1$ los casos son fáciles.

Answer 2

En el intervalo $[0,c]$ por MVT tenemos $\exists\, s \in (0,c)$ tal que $$f'(s)=\frac{f(c)-f(0)}{c-0}=\frac{1}{c}.$$

Asimismo, en el intervalo $[c,2]$ por MVT tenemos $\exists\, t \in (c,2)$ tal que $$f'(t)=\frac{f(2)-f(c)}{2-c}=\frac{1}{c-2}.$$

Si $c <1$ entonces $f'(s)>1$ y si $1 < c<2$ entonces $|f'(t)|>1$ . El único caso que queda es cuando $c=1$ . ¿Puedes completarlo ahora?

Answer 3

Dados dos puntos distintos $p,q$ en el plano, que $S(p,q)$ sea la pendiente de la recta que pasa por $p$ y $q.$

Si $f(x)>x$ para algunos $x\in (0,1),$ entonces $S((0,f(0)),(x,f(x))>1.$ Aplicar el MVT para ver que $f'>1$ en algún lugar de $(0,x).$ Si $f(x)<x$ para algunos $x\in (0,1),$ entonces $S((x,f(x)),(1,f(1))>1.$ Esta vez encontramos $f'>1$ en algún lugar de $(x,1).$

Del mismo modo, si $f(x)\ne 2-x$ para algunos $x$ en el intervalo $(1,2),$ $f'<-1$ en algún lugar de $(1,2).$

Hemos terminado a menos que $f(x)=x$ en $[0,1]$ y $f(x)=2-x$ en $[1,2].$ Pero este caso no se da; si se diera, $f'(1)$ no existiría.

Answer 4

La respuesta más sencilla.

Caso 1

Supongamos que $0< c \leq 1$ entonces por MVT $ \exists$ $k\in (0,c)$ satisfaciendo

$ f'(k)=\frac{f(0)-f(c)}{0-c}$

$ \implies f'(k)=\frac{0-1}{-c}=\frac{1}{c} \geq 1$

Caso 2

Supongamos que $1<c<2$ entonces por MVT $ \exists$ $k\in (c,2)$ satisfaciendo

$ f'(k)=\frac{f(c)-f(2)}{c-2}$

$ \implies f'(k)=\frac{1-0}{c-2}=\frac{1}{c-2}<-1$

¿Ves cómo esta solución ha encajado?