Estoy muy confundido en este ejercicio. La gente ha sugerido pistas y he visto soluciones en línea que implican módulos y productos tensoriales, pero no veo cómo nada de eso está relacionado con el problema. Dejemos que $\phi: A \rightarrow B$ sea un homomorfismo de anillos, y sea $f: Y \rightarrow X$ sea el mapa continuo inducido en los espectros, donde $X = Spec(A), Y = Spec(B)$ y $f(\mathfrak q) = \phi^{-1}\mathfrak q$ . Si $\mathfrak q \in Y$ existe un homomorfismo local natural de anillos locales $\phi_{\mathfrak q}: A_{\phi^{-1}\mathfrak q} \rightarrow B_{\mathfrak q}$ . Tenemos un morfismo habitual de gavillas $f^{\#}: \mathcal O_X \rightarrow f_{\ast} \mathcal O_Y$ . Estoy tratando de demostrar que si $\phi$ es inyectiva, entonces también lo es $f^{\#}$ . He tratado de demostrar esto mostrando que el homomorfismo inducido en los tallos $f_{\mathfrak p}^{\#}$ es inyectiva para todo $\mathfrak p \in X$ .
Podemos identificar $A_{\mathfrak p}$ con $\mathcal O_{X,\mathfrak p}$ enviando cualquier $\frac{a}{s} \in A_{\mathfrak p}$ a la clase de equivalencia $(t, D(s))$ , donde $t \in \mathcal O_X (D(s))$ es la función $t(\mathfrak p')= \frac{a}{s} \in A_{\mathfrak p'}$ para todos $\mathfrak p' \in D(s)$ . Ahora $$(f_{\ast}\mathcal O_Y)_{\mathfrak p} = \varinjlim\limits_{U \ni \mathfrak p} \mathcal O_Y(f^{-1}U)$$ y el mapa en los tallos $f^{\#}_{\mathfrak p}$ envía $(t,D(s))$ a la clase de equivalencia $(t', f^{-1}D(s)) \in (f_{\ast}\mathcal O_Y)_{\mathfrak p}$ , donde $t' \in \mathcal O_Y(f^{-1}D(s))$ es la función dada por $$t'(\mathfrak q) = \phi_{\mathfrak q}(t(\phi^{-1}\mathfrak q)) = \phi_{\mathfrak q}(\frac{a}{s}) := \frac{\phi(a)}{\phi(s)} \in B_{\mathfrak q}$$ para todos $\mathfrak q \in f^{-1}D(s) = \{\mathfrak q \in \textrm{Spec } B : s \not\in \phi^{-1} \mathfrak q\}$ . Si $(t', f^{-1}D(s))$ es el elemento cero, tenemos que argumentar que $\frac{a}{s} = 0$ . No he llegado a ninguna parte con esto. Además, ¿qué pasa si $f^{-1}D(s)$ está vacía? ¿No significaría eso que $(f_{\ast} \mathcal O_Y)_{\mathfrak p}$ ¿es el anillo cero?
