Quiero demostrar que $f(x) : = e^{ie^x}$ es una distribución templada. Por lo tanto, tengo que demostrar que para todo $\varphi \in \mathscr{S}(\mathbb{R})$ que $$\int_{\mathbb{R}} \varphi(x) e^{ie^x}dx < \infty.$$ De forma equivalente, podría demostrar que $$\int_{\mathbb{R}} \varphi(x) \mathcal{F}(e^{ie^x})dx < \infty,$$ donde $\mathcal{F}$ denota la transformada de Fourier. Todavía no he tenido suerte con esto.
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jabo
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Como Guy Fsone es suficiente saber que las funciones de Schwartz son integrables para demostrar que la integral contra $e^{ie^x}$ es finito. La sencilla razón de ello es que $\vert e^{ie^x} \vert =1$ para todos $x$ .
Por otro lado, necesitas un poco más. Demostrando que la integral es finita, demuestras que la integración contra $e^{ie^x}$ es un mapa lineal bien definido $\mathcal{S}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$ . Para demostrar que se trata de una distribución atemperada queda demostrar la continuidad de ese mapa.
De forma equivalente, se puede demostrar un límite de la forma $$\left\vert \int \varphi(x) e^{ie^x} dx \right\vert \le C p_N(\varphi)$$ donde $p_N(\phi) = \max_{k,l\le N} \vert\vert x^k \phi^{(l)} \vert\vert_{L^\infty}$ es uno de los seminormales de $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ .
Para obtener este límite observe que $$ \left\vert \int \varphi(x) e^{ie^x} dx \right\vert \le \int \vert(1+x^2)\varphi(x)\vert \cdot (1+x^2)^{-1} dx \le \int (1+x^2)^{-1} dx \cdot \sup_{x\in\mathbb{R}}\vert(1+x^2)\varphi(x)\vert $$ Ahora no es difícil ver que el primer factor es algún número finito $C/2$ y el segundo factor es $\le 2 p_2(\varphi)$ . Esto demuestra la afirmación. (El argumento, por supuesto, también funciona si se sustituye $f$ por cualquier otra función acotada).
