Deje $f:[0,1]\longrightarrow \Bbb R$ ser continuamente una función derivable tal que $$\int\limits_{0}^{1}f(x)dx=1,\int\limits_{0}^{1}xf(x)dx=2,\int\limits_{0}^{1}x^2f(x)dx=3$$ Demostrar que para cada $t\in[-24,60]$ existe $c\in(0,1)$ tal que $f'(c)=t$
Respuesta
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Desde $f$ es continuamente diferenciable, por el teorema del valor intermedio, es suficiente para mostrar que $\exists c, d \in [0, 1]$ s.t. $f'(c)=-24, f'(d)=60$.
Deje $g_t(x)=tx-f(x)$, por lo que el $g_t'(x)=t-f'(x)$. Nota: Desde $f$ es continuamente diferenciable, por lo que es $g_t$, lo $g_t'$ es continua. Tenemos:
\begin{align} \int_{0}^{1}{g_t(x) dx}=\int_{0}^{1}{tx dx}-\int_{0}^{1}{f(x) dx}=\frac{t}{2}-1 \\ \int_{0}^{1}{xg_t(x) dx}=\int_{0}^{1}{tx^2 dx}-\int_{0}^{1}{xf(x) dx}=\frac{t}{3}-2 \\ \int_{0}^{1}{x^2g_t(x) dx}=\int_{0}^{1}{tx^3 dx}-\int_{0}^{1}{x^2f(x) dx}=\frac{t}{4}-3 \end{align}
Usando integración por partes,
\begin{align} \int_{0}^{1}{xg_t'(x) dx}=g_t(1)-\int_{0}^{1}{g_t(x) dx}=g_t(1)+(1-\frac{t}{2}) \\ \int_{0}^{1}{x^2g_t'(x) dx}=g_t(1)-\int_{0}^{1}{2xg_t(x) dx}=g_t(1)+(4-\frac{2t}{3}) \\ \int_{0}^{1}{x^3g_t'(x) dx}=g_t(1)-\int_{0}^{1}{3x^2g_t(x) dx}=g_t(1)+(9-\frac{3t}{4}) \end{align}
Al $t=60$,
\begin{align} &\int_{0}^{1}{x^2(1-x)g_{60}'(x) dx} \\ &=\int_{0}^{1}{x^2g_{60}'(x) dx}-\int_{0}^{1}{x^3g_{60}'(x) dx} \\ &=(g_{60}(1)+(4-\frac{2(60)}{3}))-(g_{60}(1)+(9-\frac{3(60)}{4})) \\ &=0 \end{align}
Claramente si $g_{60}'(x)>0 \, \forall x \in [0, 1]$,$\int_{0}^{1}{x^2(1-x)g_{60}'(x) dx}>0$, una contradicción. Si $g_{60}'(x)<0 \, \forall x \in [0, 1]$,$\int_{0}^{1}{x^2(1-x)g_{60}'(x) dx}<0$, una contradicción.
Por lo tanto $g_{60}'(a) \leq 0 \leq g_{60}'(b)$ algunos $a, b \in [0, 1]$ (no necesariamente distintos). Por el teorema del valor intermedio, (desde $g_{60}'(x)$ es continuo) $g_{60}'(d)=0$ algunos $a \leq d \leq b$, lo $d \in [0, 1]$$f'(d)=60-g_{60}'(d)=60$.
Al $t=-24$, entonces, queremos mostrar que $g_{-24}'(c)=0$ algunos $c \in [0, 1]$. Supongamos por el contrario que no $c$ existe. Por el teorema del valor intermedio (desde $g_{-24}'(x)$ es continuo), esto sólo es posible si $g_{-24}'(x)$ es siempre positivo $[0, 1]$ o siempre negativo sobre $[0, 1]$. En cualquier caso, para $n=1, 2, 3$:
$$\int_{0}^{1}{|x^ng_{-24}'(x)| dx}=\left|\int_{0}^{1}{x^ng_{-24}'(x) dx}\right|$$
También se $\int_{0}^{1}{x^ng_{-24}'(x) dx}$ tiene el mismo signo para $n=1, 2, 3$.
Ahora por Cauchy Schwarz desigualdad,
\begin{align} & (g_{-24}(1)+(1-\frac{-24}{2}))(g_{-24}(1)+(9-\frac{3(-24)}{4})) \\ & =\int_{0}^{1}{xg_{-24}'(x) dx}\int_{0}^{1}{x^3g_{-24}'(x) dx} \\ & =\left|\int_{0}^{1}{xg_{-24}'(x) dx}\right|\left|\int_{0}^{1}{x^3g_{-24}'(x) dx}\right| \\ & =\int_{0}^{1}{|xg_{-24}'(x)| dx}\int_{0}^{1}{|x^3g_{-24}'(x)| dx} \\ & =\int_{0}^{1}{\left(\sqrt{|xg_{-24}'(x)|}\right)^2 dx}\int_{0}^{1}{\left(\sqrt{|x^3g_{-24}'(x)|}\right)^2 dx} \\ & \geq \left(\int_{0}^{1}{|x^2g_{-24}'(x)| dx}\right)^2 \\ & =\left(\left|\int_{0}^{1}{x^2g_{-24}'(x) dx}\right|\right)^2 \\ & =(g_{-24}(1)+(4-\frac{2(-24)}{3}))^2 \end{align}
Por lo tanto $(g_{-24}(1)+13)(g_{-24}(1)+27) \geq (g_{-24}(1)+20)^2$, dando $351=13(27) \geq 20^2=400$, una contradicción.
Por lo tanto, $g_{-24}'(c)=0$ algunos $c \in [0, 1]$, y de inmediato nos han $f'(c)=-24-g_{-24}'(c)=-24$.
