Resolución de las ecuaciones simultáneas $x + y - z = 12$ y $x^2 + y^2 - z^2 = 12$

Question

Encontré la siguiente pregunta en Internet (era una pregunta pasada en el BMO):

encontrar todas las soluciones enteras positivas $x,y,z$ resolver las ecuaciones simultáneas

$x + y - z = 12 \ $ y $\ x^2 + y^2 - z^2 = 12$ .

Normalmente estas preguntas tienen una solución sencilla y elegante y aunque he conseguido resolverla, la respuesta que he encontrado no es ninguna de las dos cosas. Me preguntaba si alguien puede ver una forma más sencilla de abordar el problema.

La forma en que resolví esto fue utilizar la primera ecuación para eliminar $z$ en la segunda pregunta. Luego factoricé la ecuación resultante para obtener:

$(x-12)(y-12) = 66$ .

Entonces, utilizando el hecho de que $66=2\times 3\times 11$ y también el hecho de que las ecuaciones son simétricas en $x$ y $y$ He elaborado las posibles factorizaciones de $66$ en dos factores. A partir de ahí elaboré posibles soluciones y luego comprobé que efectivamente lo eran. (En total encontré $8$ soluciones). Aunque este método funcionó, me pareció un poco engorroso y espero que alguien pueda mejorarlo. Por favor, tened en cuenta que esta pregunta está dirigida a alguien con habilidades matemáticas de nivel A como máximo, lo que significa que no debería necesitar matemáticas complejas para resolverla.

Answer 1

Voy a intentar una generalización.

Desde $x+y-z = n$ y $x^2+y^2-z^2 = m$ , $z = x+y-n$ así que $z^2 =(x+y)^2-2n(x+y)+n^2 =x^2+2xy+y^2-2n(x+y)+n^2$ .

Por lo tanto, $m =x^2+y^2-(x^2+2xy+y^2-2n(x+y)+n^2) =-2xy+2n(x+y)-n^2$ así que $xy-n(x+y) =-(m+n^2)/2$ o $(n^2-m)/2 =xy-n(x+y)+n^2 =(x-n)(y-n)$ . Las soluciones enteras dependen, por tanto, de los factores de $N=(n^2-m)/2$ . Tenga en cuenta que si $n$ y $m$ tienen una paridad diferente, no hay soluciones enteras.

Para cada $N =ab$ o bien $x=n+a, y=n+b$ o $x=n-a, y=n-b$ .

La mayor solución se obtiene fijando $a=N$ y $b = 1$ así que $x = n+N$ y $y = n+1$ .