Supongamos que N es un número entero positivo. ¿Cuántas secuencias enteras decrecientes decrecientes de números enteros hay tal que los miembros de la secuencia sean mayores que 1 pero menores que N... He tratado de encontrar una expresión para este problema. ¿Tengo que buscar en los números primos? excluir el 1 y el número me hace pensar que sí...
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proy
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Ya que el OP ha recibido una respuesta totalmente formada, me gustaría señalar un argumento que llega a la forma final sin pasar por una suma.
Podemos resolver de forma equivalente el número de secuencias con miembros entre $1$ y $N-2$ inclusive, restando $1$ de cada miembro.
Sin embargo, fíjate en que la condición decreciente implica que no hay dos miembros iguales, y además si te digo el conjunto de miembros entonces de hecho la secuencia está totalmente determinada. Además, todo subconjunto de $\{1,2,\dots, N-2\}$ corresponde a una secuencia del tipo deseado, excepto para el conjunto vacío, ya que necesitamos al menos un término.
Por lo tanto, el número de secuencias del tipo deseado es igual al número de subconjuntos no vacíos de $\{1,2,\dots, N-2\}$ que es $2^{N-2}-1$ .
Dejemos que $I_k$ sea el número de tales secuencias con $k$ términos. Por ejemplo $I_{N-2}=1.$ Entonces el número de tales secuencias es $$ I_{N-2}+I_{N-3}+\cdots+I_{1} $$
Está claro que $I_{N-3}={N-2 \choose 1},$ $I_{N-3}={N-2 \choose 2}$ y así sucesivamente. Así, $$ I_{N-2}+I_{N-3}+\cdots+I_{1}=\sum_{i=0}^{N-3}{N-2 \choose i}=2^{N-2}-1. $$
