Cómo encontrar una elipse , dado 2 pasar los puntos y las tangentes en ellos?

Question

Por favor, conteste a una pregunta , ¿cómo encontrar una elipse que pasa por los 2 puntos dados y ha dado tangentes en ellos. Y una pregunta relacionada es que la condición dada puede decidir una elipse que satisface?

Gracias de antemano.

Edit : Puede ser , puedo decir que la primera respuesta (por el Señor André Nicolas) es para el caso general. No hay un caso especial en el que sólo un conjunto finito de puntos suspensivos cumple la condición?

Edit : de Acuerdo a las respuestas y comentarios , puedo calcular un arbitrario elegido elipse para mi condición (utilizando el método por el Señor Patrick Da Silva). Pero posiblemente hay otros muchos que satisfacer mis condiciones. Estoy en lo cierto?

Answer 1

Sin duda, una elipse no se determina únicamente. Por ejemplo, hay un montón de puntos suspensivos con la tangente a las líneas de $y=1$$(0,1)$$y=-1$$(0,-1)$: cualquier elipse $a^2x^2+y^2=1$.

No he comprobado que una elipse con las propiedades deseadas siempre existe. Pero por una adecuada transformación proyectiva podemos hacer los dos puntos más cercana a los vecinos en un par de líneas paralelas. Después de la proyección, hay un círculo con la propiedad deseada, así como un número infinito de no circular, elipses, y otra infinidad de hipérbolas. Transformar la espalda. De ello se desprende que hay infinitamente muchos cónicas con la propiedad deseada.

Answer 2

Aquí está una caracterización completa de todos los posibles puntos suspensivos que satisfacen los criterios dados.

Caso 1: Las dos tangentes a través de los puntos especificados $P$ $Q$ se intersectan en un punto de $R$ distinta de la de $P$$Q$. Entonces no es una transformación afín de asignación de $R$, $P$, y $Q$ a $(0,0)$, $(1,0)$, y $(0,1)$ respectivamente. En virtud de esta transformación, de la elipse de la satisfacción de los criterios originales se asigna a una elipse que pasa a través de $(1,0)$ $(0,1)$ y la tangente a los ejes coordenados en los puntos. Todos esos puntos suspensivos son de la forma$(x-1)^2+(y-1)^2+axy = 1$$-2 < a < 2$.

Aquí están algunas de las figuras de mi respuesta a una pregunta duplicada que no me había dado cuenta era un duplicado. $R$ está etiquetada $O$ y los puntos suspensivos son para $a=1,0,-1$.

Caso 2: Las dos tangentes son paralelas y ni pasa por ambos puntos. Entonces no es una transformación afín de asignación de $P$$Q$$(-1,0)$$(1,0)$, y las tangentes a las líneas paralelas a la $x$-eje. Ahora hay una familia infinita de puntos suspensivos dado por André Nicolas que satisfagan estas condiciones, a saber,$ax^2 + y^2 = 1$$a > 0$.

Answer 3

Es más fácil de lo que piensas.

Usted puede hacer que sea tangente a dos líneas, como por ejemplo en esta imagen $AB$$BC$:

Tomar un punto como $D$ (en la imagen) y, a continuación, se reflejan en las líneas de $AB$ $BC$ dar u $D$ $D'_{1}$ (en la foto), a continuación, dibuja la bisectriz perpendicular de la línea de $D'D'_{1}$ (que ya en triángulo $DD'D'_{1}$, $CB$ y $AB$ son las mediatrices y que pasan a través de $B$, la tercera de la mediatriz que pasa a través de $B$ también).

Ahora, cualquier punto sobre esta línea se puede utilizar, como $E$. Ahora dibuje $ED'$ $ED_{1}'$ hasta que se cruzan las líneas de $BC$$AB$, respectivamente, en los puntos de $P$ $F$ (lo siento no escribir el $P$ uno), a continuación, sus puntos suspensivos los puntos focales $E$ $D$ y los dos puntos tangentes se $P$$F$.

ver..... fácil!!!!

Y usted puede probar esto (en la segunda foto):

Una determinada línea de $AB$ y dos puntos dados $C$$D$. Si se dibuja una elipse con los dos puntos focales $C$ $D$ a ser tangente a la línea de $AB$ a, por ejemplo, $E$, $E$ sería el punto de que $CE+DE$ es el valor mínimo.

Entonces, ¿cómo encontrar este punto?

Respuesta: Reflejar el punto de $D$ sobre la línea y el nombre de $D'$, entonces el valor de $CE+DE=CE+D'E$ y su mínimo cuando los tres puntos $C$ $E$ $D'$ son colineales (la distancia más cercana entre dos puntos es la línea recta).

Entonces, ¿por qué su tangente?

Porque, si no que es el valor mínimo, por ejemplo, el punto de $E'$ entonces existe un segundo punto como $E''$ que $CE'+DE'=CE''+DE''$ (debido a que la cantidad se incrementa de forma continua si u mover el punto mínimo a la derecha o a la izquierda, por lo que para cada punto en la derecha existe uno en la izquierda), entonces es obvio que la elipse se cruzarían la línea en dos puntos de $E'$$E''$. Entonces no es tangente pero para el valor mínimo de su un solo punto.

Por favor enviarme un correo electrónico si esto fue útil (ariahala@gmail.com)

Answer 4

Hay infinitamente muchos puntos suspensivos, aun suponiendo que los dos tangente a las líneas se cruzan.

Esto se desprende de la muy bonita propiedad de una elipse:

Si la línea $t$ es una tangente a una elipse en el punto de $P$, y si el focii de la elipse se $A$$B$, entonces el rayo $\overrightarrow{BP}$ reflejado en $t$ pasa a través de $A$.

Básicamente, si usted disparar un láser de $B$ a cualquier punto de la elipse, y la elipse es un espejo perfecto, entonces el rayo reflejado se pasan a través de $A$!

Esto puede ser demostrado mediante el principio de la física: light takes the route which takes the shortest time. Utilizando el hecho de que el locus de una elipse es $PA + PB = $ constante, si la luz de $B$ reflejado en la elipse tiene que tomar el menor tiempo, se puede demostrar que se tiene que pasar a través de $A$.

Esto nos da una manera de generar múltiples puntos suspensivos.

Supongamos que los puntos dados se $P$ $Q$ y las tangentes ($p$$q$ respectivamente) se cortan en $O$, se supone también que $\angle{POQ}$ no es agudo.

Las dos tangentes dividen el plano en cuatro regiones. Considere la posibilidad de la región de $R$ que contiene tanto $P$ $Q$ en su frontera.

Ahora reflejan $P$ sobre la línea de $q$ a punto de $Q$. Esta línea intersecta $R$, se obtiene la mitad de la línea de $S_P$. Del mismo modo reflejan $Q$ sobre la línea de $p$$P$, y llegamos a la mitad de la línea de $S_Q$.

Ahora, dado un punto de $B_i$ (candidato de un foco), se elige un punto correspondiente a $A_i$ (candidato por el otro foco) como sigue (basadas en la reflexión de la propiedad):

Disparar láseres de $B_i$ $P$ $Q$(suponiendo que las líneas de $p$ $q$ son espejos) y si se cruzan, se escoge el punto de intersección de a $A_i$.

Si resulta que $PB_i + PA_i = QB_i + QA_i$, luego tenemos a nuestra elipse.

Ahora, dado un punto de $B_1$ $S_Q$ el correspondiente $A_1$ que tenemos es el punto de $Q$ sí.

Tenemos que $B_1Q + A_1Q \lt B_1P + A_1P$

Para un punto de $B_2$$S_P$, el correspondiente $A_2$ que tenemos es el punto de $P$ sí.

Tenemos que $B_2Q + A_2Q \gt B_2P + A_2P$

Ahora bien, si tomamos $B_1$ $B_2$ lo suficientemente lejos de $P$$Q$, a medida que nos movemos de$B_1$$B_2$, a lo largo del segmento $B_1 B_2$, habrá un punto de $B_3$ que $B_3Q + A_3Q = B_3P + A_3P$ (por la continuidad de los argumentos) y que nos da una elipse que necesitamos.

Ahora podemos elegir varias líneas paralelas a $B_1B_2$ y el uso que de obtener múltiples puntos suspensivos (en la mayoría de las dos líneas paralelas puede dar la misma elipse).

Si $\angle{POQ}$ es aguda, se puede recoger $B_1$ $B_2$ $p$ $q$ sí, con $P$ que se extiende entre los $O$ $B_1$ $Q$ que se extiende entre los $O$ $B_2$ y $B_1$, $B_2$ está lo suficientemente lejos de $O$.

Answer 5

EDIT: Como Rahul comentario señala, he asumido implícitamente que la elipse centrada en el origen. Esto es importante ; para que todo funcione bien aquí, usted necesita dos puntos para ser vectores linealmente independientes, el centro debe ser asumido en el origen y, obviamente, la de la tangente a las líneas no deben conseguí a través del origen. Ya que no hay elipse más que dos linealmente independiente puntos de tangente paralelo líneas, también debemos asumir que la tangente líneas se intersectan en algún lugar más que en el infinito.

En realidad lo que necesitan es el normal de los vectores. Una elipse es completado caracteriza por $3$ coeficientes, es decir, la $a$, $b$ y $c$ que definir $$ ax^2 + bxy + cy^2 = 1. $$ El gradiente de la función de $f(x) = ax^2 + bxy + cy^2$ le da los vectores normales a la elipse por la informática $$ \nabla f(x) = \begin{bmatrix} 2ax + by \\ bx + 2cy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a & b \\ b & 2c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}. $$ Usted sabe que los vectores normales a los dos linealmente independiente de puntos en el plano (esto es muy importante, de lo contrario, su condición puede representar a más de una elipse). Por lo tanto, usted puede calcular de ellos en $X_1 = (x_1, y_1)$ y a las $X_2 = (x_2, y_2)$ conseguir $(\alpha_1, \beta_1)$ $(\alpha_2, \beta_2)$ los vectores normales a $X_1$$X_2$. Para asegurarse de que su vector normal de puntos "fuera de la elipse", proyecto que en su subyacente punto. En otras palabras, si $(\alpha_1, \beta_1)$ es el vector normal a $(x_1, y_1)$, a continuación, calcular $x_1 \alpha_1 + x_2 \beta_2$. Este debe ser distinto de cero ; si es positivo, el signo es bueno para una elipse. Si es negativo, es malo ; el cambio. Todo esto le da a usted el sistema lineal $$ \begin{bmatrix} 2a & b \\ b & 2c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \\ \beta_1 & \beta_2 \end{bmatrix}. $$ Si usted invertir la matriz con la $x$'s y $y$'s (que supuse que era posible), se obtiene el $a$s, $b$'s y $c$'s.

Espero que ayude,