He resumido la cuestión en el último párrafo, por si prefieres saltarte todo mi razonamiento y trigonometría.
btw, he mirado
- Utilizando relojes de luz, ¿se puede derivar la fórmula de la contracción de la longitud sin el "rebote" del fotón?
- ¿Cómo se deduce la contracción de Lorentz del intervalo invariante?
- ¿Qué pasa si un reloj de luz viaja perpendicularmente a los espejos que componen el reloj?
También he hecho algunas investigaciones fuera del sitio, (sin mencionar el lujo de que me enseñaron algo de esto - hace mucho tiempo).
Ninguna de estas aportaciones parece cubrir mi punto preciso. Espero que también encuentre que esto no es un duplicado. Hay necesariamente un escenario y un contexto.
Razonamiento
Considere dos relojes de luz, A y B, en el mismo marco de referencia móvil y un observador, O, en reposo.
Estos son inicialmente un relojes de luz en los que la luz viaja desde un emisor hasta un detector. No son dos manera los relojes en los que la luz viaja de vuelta a su origen, aunque eso se discute como comprobación y para mostrar que el razonamiento puede derivar la transformada de Lorentz correctamente.
Reloj A: Tangencial a la velocidad
El tratamiento del reloj de la luz A es el reloj conocido de todos los libros de texto de relatividad especial, lo recapitulo aquí.
Utilicé este diagrama aunque es un reloj de dos vías.
El reloj de luz A está orientado de manera que su luz se mueve tangencialmente a la dirección de movimiento observada. El reloj de luz B está orientado de manera que su luz se mueve paralela a la dirección de movimiento observada.
En la relatividad especial, el efecto de contracción de la longitud puede derivarse aplicando la trigonometría básica a la trayectoria de la luz. Esto está bien establecido en los libros de texto, la distancia $D$ que O observa que recorre la luz en el reloj A es $$D^2=\frac{L^2}{\bigg(1-\frac{v^2}{c^2}\bigg)}$$
$L$ es la distancia del detector del reloj de luz al espejo (en su propio marco de referencia)
$D$ es la distancia que recorre la luz en el marco de reposo del observador $v$ es la velocidad del cuadro
$c$ es la supuesta velocidad de la luz
La suposición necesaria de O de que la velocidad de la luz es constante significa que observa que el reloj A va más lento en proporción a la mayor longitud de la trayectoria; y así obtenemos la contracción de la longitud.
Reloj B: Paralelo a la velocidad
Ahora intento aplicar esta lógica al reloj B. La distancia que O observa que recorre la luz del reloj B.
En la dirección de avance, la distancia que recorre el detector es $$v\delta t$$ La distancia que recorre la luz debe ser ésta más L (pero longitud contraída) $$D=L/\gamma+v\delta t$$ donde para el observador de nuevo $$\delta t=D/c$$ Desgraciadamente eso vuelve $$D=\frac{L}{\gamma\bigg(1-\frac{v}{c}\bigg)}$$
D es mayor que L, en el marco de O la luz tarda más en recorrer D, y por tanto el tiempo en el marco del reloj aparece dilatado para O.
Sigo y hago el reloj de dos vías.
Si el reloj B era un reloj bidireccional paralelo a la velocidad
Bien, determinemos la longitud del viaje de vuelta de la luz y sumémosla a la longitud del viaje de ida de la luz, $D$ en la ecuación anterior. Puedo decir $$c\delta t+v\delta t=L/\gamma$$ (dos "objetos" que se mueven juntos a partir de una separación de L, uno a v, otro a c) Esto nos da $\delta t$ y así la longitud del viaje de vuelta de la luz es $$D_{return}=\frac{cL}{(c+v)}=\frac{L}{\gamma(1+v/c)}$$ Sumando esto, entonces $$D_{bothways}=\frac{L}{(1+v/c)}+\frac{L}{\gamma(1-v/c)}$$ por lo que esto se traduce en $$D_{bothways}=\frac{2L}{\gamma(1-v^2/c^2)}$$ Ahora no lo derivé aquí pero podemos hacerlo en otro lugar $$\gamma=1/\sqrt(1-v^2/c^2)$$ Así obtenemos, que es el doble de grande para el Reloj A y correcto. $$D_{bothways}=\frac{2L}{\sqrt(1-v^2/c^2)}$$
Conclusión
Las ecuaciones del reloj A y del reloj B no concuerdan... de modo que bajo cierta circunstancia (¿contratada?), si
- el efecto que se ve es monodireccional y
- corre paralela al movimiento del cuadro, (dependiendo de si está en la dirección o en contra de la dirección del movimiento)
Usted obtendrá diferentes magnitudes de los efectos de la dilatación del tiempo. OK, mejor pregunto sobre esto...
La pregunta
Como comunidad ya hemos aceptado que la contracción de la longitud es direccional. Dado que la dilatación del tiempo es una manifestación del mismo efecto, parece lógico aceptar que (en algunas condiciones) los efectos temporales relativistas también pueden ser direccionales Por ejemplo, los relojes de luz de un solo sentido (si es que pueden existir).
¿Qué pasa con mi aplicación de las matemáticas?
Consecuencias
Para intentar que esto sea relevante, ahora empezamos a tener un comportamiento extraño si llevamos dos relojes de luz direccional de diferente orientación en un hipotético viaje relativista. Empezarán a dar tiempos diferentes. Tengo entendido que los relojes de los satélites GPS están compensados relativistamente. Si los relojes (creo que atómicos) tienen un componente "direccional", ¿es posible que este efecto sea significativo?
