¿Cómo puedo calcular la derivada parcial de esta función compuesta? $$f(x,y)=\varphi (\frac yx,x^2-y^2,y-x)$$ No sé los pasos que tengo que dar para solucionar esto. Gracias.
Respuesta
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Si identificamos las funciones de $ \ x \ $ y $ \ y \ $ que participan en la definición de la función $ \ \varphi \ $ por
$$f(x,y) \ = \ \varphi (\ \underbrace{\frac yx}_u \ , \ \underbrace{ x^2-y^2}_v \ , \ \underbrace{y-x}_w \ ) \ , $$
podemos utilizar la extensión multivariante de la Regla de la Cadena para escribir
$$ \frac{\partial f}{\partial x} \ = \ \frac{\partial \varphi}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} \ + \ \frac{\partial \varphi}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} \ + \ \frac{\partial \varphi}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x} \ \ , $$
$$ \frac{\partial f}{\partial y} \ = \ \frac{\partial \varphi}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} \ + \ \frac{\partial \varphi}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} \ + \ \frac{\partial \varphi}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial y} \ \ .$$
De la información disponible se desprende que
$$ \frac{\partial u}{\partial x} \ = \ -\frac{y}{x^2} \ , \ \frac{\partial v}{\partial x} \ = \ 2x \ \ , \ \frac{\partial w}{\partial x} \ = \ -1 \ \ , $$
$$ \frac{\partial u}{\partial y} \ = \ \frac{1}{x} \ , \ \frac{\partial v}{\partial y} \ = \ -2y \ \ , \ \frac{\partial w}{\partial y} \ = \ 1 \ \ . $$
Sin embargo, como no sabemos nada más sobre la función $ \ \varphi (u,v,w) \ , $ no podemos desarrollar las derivadas parciales para $ \ f \ $ más.
