Dejemos que $n\in\Bbb N$ . Sea una función $f(x)$ esté acotado en cada intervalo $(x_0, x_1)$ . El dominio de $f(x)$ es $x\in (x_0, +\infty)$ . Demuestra que si el siguiente límite existe y es finito o infinito: $$ \lim_{x\to+\infty}{f(x+1)-f(x)\over x^n}=L \in \mathbb R\ \cup \{\pm \infty\}\tag1 $$ Entonces: $$ \lim_{x\to+\infty}{f(x)\over x^{n+1}} = {1\over n + 1}\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x+1)-f(x)}{x^n} \tag 2 $$
He empezado por considerar lo siguiente. Desde $f(x)$ está limitada en cada intervalo, entonces existe una secuencia que limita $f(x)$ . A saber: $$ |f(x)| \le M_1,\ x\in(x_0, x_1)\\ |f(x)| \le M_2,\ x\in(x_0, x_2)\\ \cdots\\ |f(x)| \le M_k,\ x\in(x_0, x_k) $$ donde: $$ x_1 < x_2 < \cdots < x_k $$
Ahora podemos elegir limsup y liminf de $M_k$ para ser límites para $f(x)$ . S $$ \liminf_{k\to\infty} M_k \le f(x) \le \limsup_{k\to\infty} M_k \tag3 $$
Entonces intenté asumir que el límite en $(1)$ es finito. A saber: $$ \lim_{x\to+\infty}{f(x+1)-f(x)\over x^n} = A \in \mathbb R $$
Además, si el razonamiento para llegar a $(3)$ es correcto, entonces dividiendo $(3)$ por $x^{n+1}$ obtenemos: $$ \frac{\liminf_{k\to\infty} M_k}{x^{n+1}} \le \frac{f(x)}{x^{n+1}} \le \frac{\limsup_{k\to\infty} M_k}{x^{n+1}} $$ El LHS y el RHS de la desigualdad son números finitos por lo que tomando el límite en esa desigualdad obtuve: $$ \lim_{x\to+\infty}\frac{\liminf_{k\to\infty} M_k}{x^{n+1}} \le \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x^{n+1}} \le \lim_{x\to+\infty} \frac{\limsup_{k\to\infty} M_k}{x^{n+1}} $$
Lo que implica que: $$ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x^{n+1}} = 0 $$
Pero eso no parece correcto. Estoy perdido aquí ya que no veo la manera de llegar a $(2)$ . ¿Cómo puedo demostrar la afirmación de la sección del problema?
