Una pregunta sobre la teoría de la probabilidad con 3 urnas con retorno

Question

Cada uno de $3$ urnas contiene veinte bolas. La primera urna contiene diez bolas blancas, la segunda urna contiene seis bolas blancas y la tercera urna contiene dos bolas blancas. Todas las demás bolas son negras. Se extrae una bola de la urna al azar con retorno en la misma urna. El color de la bola es blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída de la misma urna sea blanca?

Creo que esto es $\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{20} + \frac{3}{9} \cdot \frac{6}{20} + \frac{5}{9} \cdot \frac{10}{20}$ por el teorema de Bayes y la ley de la probabilidad total, pero no puedo estar seguro.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

No estoy seguro de dónde vienen tus matemáticas, y no estoy familiarizado con la "Ley de la probabilidad total". Así es como yo calcularía la probabilidad.

Dejemos que $p(k)$ representan la probabilidad de que la primera bola provenga de la urna $k : k \in \{1,2,3\}.$

Entonces, la probabilidad de que el nuevo dibujo sea también una bola blanca, ya que el muestreo se realiza con sustitución es

$$\left[p(1) \times \frac{10}{20}\right] ~+~ \left[p(2) \times \frac{6}{20}\right] ~+~ \left[p(3) \times \frac{2}{20}\right].$$

Dejemos que $D$ (es decir, el denominador) = $$\left[\frac{1}{3} \times \frac{10}{20}\right] ~+~ \left[\frac{1}{3} \times \frac{6}{20}\right] ~+~ \left[\frac{1}{3} \times \frac{2}{20}\right].$$

Entonces:

$$p(1) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{10}{20}}{D}.$$

$$p(2) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{6}{20}}{D}.$$

$$p(3) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{20}}{D}.$$

Answer 2

Bienvenido.
Tu respuesta es correcta, necesita el Teorema de Bayes y la probabilidad total, pero no has mostrado cómo has llegado a ella y no sé qué forma del Teorema de Bayes has aprendido.
Para mantenerlo muy rudimentario, la probabilidad de que la primera bola blanca se encuentre en una caja concreta elegida al azar será igual a la proporción de bolas blancas que contiene respecto al total de bolas blancas.
Entonces, aplicando la ley de la probabilidad total, obtenemos la fórmula
$\Sigma$ [P(1ª bola blanca de la caja $k$ ) $\times$ P(2da bola blanca de la caja $k$ )] = $\frac{10}{18}\cdot\frac{10}{20} + \frac6{18}\cdot\frac6{20} + \frac2{18}\cdot\frac2{20}$