Se pidió en el examen de Putnam de 1969, enumerar todos los conjuntos que pueden ser el rango de polinomios en dos variables con coeficientes reales. Sorprendentemente, el conjunto $(0,\infty )$ puede ser el rango de dichos polinomios. Estos no alcanzan su mínimo global aunque estén acotados por debajo. Pero, ¿es también posible que tales polinomios con rango $(0,\infty )$ ¿también tienen un gradiente no nulo en todas partes?
Respuestas
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thattolleyguy
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Demasiado largo para un comentario. Tengo que preguntarme cuán difícil es esto.
De todos modos, una cosa sí funcionó, al menos localmente: Tenemos una función polinómica $F(x,y)$ que se supone que tiene un gradiente no evanescente. Entonces el campo vectorial $$ \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \; \frac{\partial F}{\partial y} \right) $$ tiene curvas integrales que folian el plano. Por otro lado, las curvas integrales de $$ \left( \frac{ - \partial F}{\partial y}, \; \frac{\partial F}{\partial x} \right) $$ también son curvas de nivel, y folian el plano. Sabemos que si una de estas curvas de nivel es una curva simple cerrada, utilizando el teorema de la curva de Jordan tiene un interior. Si la función es constante en ella tiene gradiente cero en su interior, en caso contrario alcanza su máximo o mínimo en su interior y vuelve a tener un punto crítico. $$ $$ Después de esto estoy atascado.
En particular, simplemente no veo qué hace el polinomio por nosotros. El polinomio homogéneo sería diferente. Hay una conjetura de Thom sobre el comportamiento local que, al parecer, se conformó con los polinomios homogéneos solamente. Me gustaría decir que la imagen que se está construyendo se asemeja a la de $F(x,y) = e^x$ y eso es absurdo para un polinomio. Bueno, tal vez.
También tengo que preguntarme cuánto sabe el OP.
