Caso especial de la famosa ecuación

Question

Estoy interesado en la siguiente ecuación diofantina: $(5^n-1)/4=y^2$ .

Resulta que se trata de un caso especial de la ecuación de Nagell-Ljunggren, donde $x=5$ y $q=2$

Se ha demostrado que para x=5 esto no tiene solución pero estoy buscando una solución elemental de este caso especial.

Answer 1

Este tipo de problema suele requerir un poco de teoría algebraica de los números. Joe Silverman esboza un posible enfoque en los comentarios. Aquí hay otro. Reescribamos como $$ (2y)^2-5^n=-1. $$ Si $n$ es par entonces el lado izquierdo es una diferencia de dos cuadrados, lo que rápidamente da una contradicción. Por tanto, escribamos $n=2m+1$ . Entonces $$ (2y+5^m \sqrt{5})(2y-5^m \sqrt{5})=-1. $$ Así, $2y+5^m \sqrt{5}$ es una unidad en $\mathbb{Z}[(1+\sqrt{5})/2]$ . Una unidad fundamental es $\epsilon=(-1+\sqrt{5})/2$ . De ello se desprende que $$ 2y+5^m \sqrt{5}=\pm \epsilon^{t}. $$ Conjugando $$ 2y-5^m \sqrt{5}=\pm \mu^t, \qquad \mu=(-1+\sqrt{5})/2. $$ Tomando las diferencias y dividiendo por $\pm \sqrt{5}$ tenemos $$ \pm 2 \cdot 5^m= \frac{\epsilon^t-\mu^t}{\sqrt{5}}. $$ El lado derecho es el $t$ -El número de Fibonacci. Así, la ecuación se convierte en $$ F_t=\pm 2 \cdot 5^m. $$ Descartemos el caso $m \ge 1$ , lo que te deja con $F_t= \pm 2$ . Si $m \ge 1$ entonces $F_t \equiv 0 \pmod{10}$ . Ahora escribe la secuencia de Fibonacci módulo $10$ y convencerse de que esto obliga $t \equiv 0 \pmod{15}$ . Pero entonces $F_{15} \mid F_t$ . Sin embargo, $F_{15}=2 \cdot 5 \cdot 61$ que no divide $2 \cdot 5^m$ , dando lugar a una contradicción.