Ayuda con la demostración de que la convergencia en la medida es equivalente a la convergencia de Cauchy en la medida si el espacio es sigma-finito.

Question

Dejemos que $(X,\mathcal{A},\mu)$ ser un $\sigma-$ espacio de medida finita y $(u_n)\subset \mathcal{M}(\mathcal{A})$ . Demostrar que $u_n \to u$ (como $n\to \infty$ ) en medida si y sólo si $u_n - u_k \to 0$ (como $n,k\to \infty$ ) en medida.

Aquí, la convergencia en la medida se define como $$\forall \epsilon>0 \forall A \in \mathcal{A}, \mu(A)<\infty: \lim_{n\to \infty} \mu(\{|u_n-u|>\epsilon\} \cap A)=0.$$

Tengo problemas para entender la solución para la dirección only if.

En la solución de abajo, ¿por qué la convergencia uniforme de $\sum_j (u_{N_{j+1}}-u_{N_j})$ implican que $\lim_j u_{N_j}$ existe de manera uniforme?

¿Y cómo podemos concluir que $\lim_j u_{N_j} 1_{A_l} = u^{(l)}1_{A_l}$ existe en casi todas partes para algunos $u^{(l)}$ desde $\mu(E_i^* \cap A_l)<2 \cdot 2^{-i}$ ?

Por último, no puedo entender cómo se obtiene (*) del hecho de que para cada $A_m$ tenemos un límite a.e. $u^{(m)}$ . Aquí, $A_l \cap A_m$ debe ser $A_m$ si $m\le l$ Así que $u^{(l)} = u^{(m)}$ a.e. en $A_l$ pero, ¿cómo extendemos este límite a la casi totalidad de $X$ de tener los límites de a.e. en $A_m$ ?

Answer 1

1. Recordemos que una serie $\sum_{j=1}^{+\infty}g_j$ es uniformemente convergente en un conjunto $E$ si la secuencia $\left(\sum_{j=1}^{n}g_j\right)_{n\geqslant 1}$ converge uniformemente en $E$ . Aplique esto a $g_j=u_{N_{j+1}}-u_{N_j}$ .

2. Dejemos que $B_i$ sea el conjunto $E_i^*\cap A_l$ . Desde $\sum_i \mu\left(B_i\right)$ es finito, para casi todo $x\in A_l$ existe un número entero $I(x)$ tal que para $i\geqslant I(x)$ , $x$ no pertenece a $B_i$ . Por lo tanto, para tal $i$ , $x\in A_l\setminus E_i$ y podemos utilizar la convergencia anterior.

3. Otra forma de ver las cosas es definir $u(x)$ por $u^{(l)}(x)$ si $x\in A_l\setminus A_{l-1}$ .